313
L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.
bution de la partie de située dans . Donc, on a
.
Ceci pourrait se remplacer par
,
les extrémités de étant supposées prises sur , mais seulement si, dans le calcul de l’intégrale par rapport à , on ne fait compter les points que pour leur mesure à gauche, et les points pour leur mesure à droite.
Sous l’une ou l’autre forme, on voit qu’il y a là la possibilité de déterminer dans des intervalles contenant des points de ; ceci suffit pour qu’on soit certain de pouvoir obtenir dans tout par récurrence transfinie ; est, par suite, déterminée à une constante additive près.
La nouvelle catégorie de fonctions est très vaste, pourtant nous ne savons pas toujours trouver la fonction continue admettant par rapport à une fonction continue donnée une dérivée continue donnée . Il suffit de prendre continue et à variation non bornée dans tout intervalle et de prendre pour nous trouver dans ce cas. Sans doute, dans cet exemple, nous connaissons l’une des fonctions primitives de , savoir la fonction elle-même ; mais nous ignorons s’il existe ou non des fonctions primitives qui ne soient pas de la forme
;
nous n’avons, en effet, donné ici aucune méthode, ni pour trouver les fonctions primitives de , ni pour délimiter l’étendue de leur indétermination.