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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.
bution de la partie 
de 
située dans 
. Donc, on a
![{\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mathrm {G} (x)}(j)=\int _{\mathrm {E} _{j}}f(x)\,\mathrm {d} \left[\beta (x)\right]+\sum _{j}^{\mathrm {E} _{j}}\left[\mathrm {G} (m)-\mathrm {G} (l)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2525b8a68c767bd69fc5f4807055930429eb93c)
.
Ceci pourrait se remplacer par
![{\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mathrm {G} (x)}(j)=\int _{\mathrm {E} _{j}}f(x)\,\mathrm {d} \left[\alpha (x)\right]+\sum _{j}^{\mathrm {E} _{j}}\left[\mathrm {F} (m)-\mathrm {F} (l)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6cedd62dc215bf52c1e3148dc10f9614de35029)
,
les extrémités de étant supposées prises sur , mais seulement si, dans le calcul de l’intégrale par rapport à 
, on ne fait compter les points 
que pour leur mesure à gauche, et les points 
pour leur mesure à droite.
Sous l’une ou l’autre forme, on voit qu’il y a là la possibilité de déterminer 
dans des intervalles contenant des points de ; ceci suffit pour qu’on soit certain de pouvoir obtenir dans tout 
par récurrence transfinie ; est, par suite, déterminée à une constante additive près.
La nouvelle catégorie de fonctions est très vaste, pourtant nous ne savons pas toujours trouver la fonction 
continue admettant par rapport à une fonction continue donnée une dérivée continue donnée 
. Il suffit de prendre continue et à variation non bornée dans tout intervalle et de prendre 
pour nous trouver dans ce cas. Sans doute, dans cet exemple, nous connaissons l’une des fonctions primitives de , savoir la fonction elle-même ; mais nous ignorons s’il existe ou non des fonctions primitives qui ne soient pas de la forme
;
nous n’avons, en effet, donné ici aucune méthode, ni pour trouver les fonctions primitives de , ni pour délimiter l’étendue de leur indétermination.
