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CHAPITRE XI.

totale indéfinie dans $i$. Toutefois, pour calculer ${\mathrm {G} (x)}$, il conviendrait de modifier légèrement la méthode de calcul des intégrales de Stieltjès ${\textstyle \int \varphi (x)\,\mathrm {d} [\beta (x)]}$ ; car ${\varphi (x)}$ représente maintenant la dérivée connue de $\mathrm {G}$ par rapport à ${\beta (x)}$, laquelle est multiforme au point de discontinuité $x_{0}$, si en ce point $\mathrm {G}$ a une dérivée à droite ${f_{d}(x_{0})}$ et une dérivée à gauche ${f_{g}(x_{0})}$. Alors $x_{0}$ pourra intervenir dans un ensemble ${\mathrm {E} \left[l\varepsilon \leqq \varphi <(l+1)\varepsilon \right]}$, soit à cause seulement de la valeur ${f_{d}(x_{0})}$, soit seulement de ${f_{g}(x_{0})}$, ou des deux ; suivant ces cas, $x_{0}$ interviendra dans ${m_{\beta (x)}\left\{\mathrm {E} \left[l\varepsilon \leqq \varphi <(l+1)\varepsilon \right]\right\}}$ pour

$\beta (x_{0}+0)-\beta (x_{0})$,$\beta (x_{0})-\beta (x_{0}-0)$,$\beta (x_{0}+0)-\beta (x_{0}-0)$^[1].

Par de telles modifications élémentaires, nous arriverons donc à trouver une fonction ${\mathrm {F} (x)}$ connaissant en tout point la valeur finie ${f_{d}(x)}$ de sa dérivée à droite par rapport à une fonction à variation bornée ${\alpha (x)}$, et connaissant, aux points de discontinuité de ${\alpha (x)}$, la valeur finie ${f_{g}(x)}$ de sa dérivée à gauche^[2].

Mais ces modifications sont inutiles ici car les points de $\mathrm {D} _{x}$ sont des origines $l$ ou des extrémités $m$ d’intervalles contigus à $\mathrm {E}$ ; ${\beta (x)}$ est continue à droite en $l$, à gauche en $m$, de sorte qu’il suffit de prendre ${\varphi =f}$ aux points de $\mathrm {D} _{x}$ sans tenir compte des valeurs ${f_{d}(l)}$ et ${f_{g}(m)}$.

Par suite, dans $i$, on peut trouver un intervalle $j$ contenant à son intérieur des points de $\mathrm {E}$ et dans lequel $\varphi$ est sommable par rapport à ${\beta (x)}$. L’intégrale de $\varphi$, dans $j$, est la somme des contributions des intervalles ${(l,m)}$, laquelle est connue, et de la contri-

1. Ceci revient à ne considérer, dans l’évaluation de la grandeur physique ${m_{\beta (x)}\left\{\mathrm {E} \left[l\varepsilon \leqq \varphi <(l+1)\varepsilon \right]\right\}}$, que l’un ou l’autre ou les deux points matériels que Stieltjès imagine situés au point $x_{0}$ (p. 297).

   D’une façon plus abstraite, on peut dire qu’on remplace la notion d’ensemble de points par celle d’ensemble d’intervalles nuls. Mais il y a trois espèces d’intervalles nuls et il faut tenir compte dans l’évaluation de la mesure d’un ensemble de la nature des intervalles nuls qui le constituent.

2. Les considérations précédentes prouvent nettement qu’une fonction n’est pas définie par la connaissance d’un ou plusieurs de ses nombres dérivés à droite, par rapport à une fonction ${\alpha (x)}$, qu’il faut avoir de plus des renseignements sur l’allure de la fonction cherchée aux voisinages gauches des points de discontinuité de ${\alpha (x)}$.