Il est alors clair que, dans , si petit que soit positif est la dérivée par rapport à de la fonction
Mais cette intégrale augmente indéfiniment quand tend vers zéro, parce que la série des est divergente ; dans (0, 1), la fonction continue n’est donc pas la dérivée par rapport à d’une fonction .
Ainsi, quand nous ne supposons plus que est à variation bornée, le problème des fonctions primitives apparaît tout différent de celui que nous avons résolu.
Voici pourtant une catégorie de fonctions à laquelle les considérations précédentes s’étendent de suite.
La fonction satisfait aux deux conditions suivantes :
1o n’a que des points de discontinuité de première espèce ;
2o étant un ensemble fermé quelconque, il existe un intervalle contenant des points de à son intérieur et dans lequel est à variation bornée la fonction égale à aux points de , linéaire dans les intervalles contigus à et telle que , .
Prenons pour l’intervalle lui-même ; est identique à dans ; dans nous connaissons la dérivée de , par rapport à la fonction à variation bornée ; donc y est totalisable, par rapport à . Dans existe, par suite, un intervalle dans lequel est sommable, par rapport à ; l’intégrale de Stieltjès de fournissant .
On connaît ainsi dans des intervalles qui couvrent l’intérieur des intervalles contigus à un certain ensemble fermé. De là on déduit , d’abord dans les intervalles contigus considérés comme ensembles ouverts ; puis, comme on connaît les sauts de en tout point, dans les intervalles contigus fermés.
Supposons que, par cette opération ou toute autre, nous ayons déterminé dans les intervalles fermés contigus à un ensemble fermé . Soit la fonction déduite de comme est déduite de .