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CHAPITRE XI.

Il est alors clair que, dans ${(\varepsilon ,1)}$, si petit que soit $\varepsilon$ positif $f(x)$ est la dérivée par rapport à ${\alpha (x)}$ de la fonction

${\int _{\varepsilon }^{x}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]}$.

Mais cette intégrale augmente indéfiniment quand $\varepsilon$ tend vers zéro, parce que la série des $\pi _{k}$ est divergente ; dans (0, 1), la fonction continue $f(x)$ n’est donc pas la dérivée par rapport à ${\alpha (x)}$ d’une fonction ${\mathrm {F} (x)}$.

Ainsi, quand nous ne supposons plus que ${\alpha (x)}$ est à variation bornée, le problème des fonctions primitives apparaît tout différent de celui que nous avons résolu.

Voici pourtant une catégorie de fonctions ${\alpha (x)}$ à laquelle les considérations précédentes s’étendent de suite.

La fonction ${\alpha (x)}$ satisfait aux deux conditions suivantes :

1^o ${\alpha (x)}$ n’a que des points de discontinuité de première espèce ;

2^o $\mathrm {E}$ étant un ensemble fermé quelconque, il existe un intervalle $i$ contenant des points de $\mathrm {E}$ à son intérieur et dans lequel est à variation bornée la fonction ${\beta (x)}$ égale à ${\alpha (x)}$ aux points de $\mathrm {E}$, linéaire dans les intervalles ${(l,m)}$ contigus à $\mathrm {E}$ et telle que ${\alpha (l)=\beta (l)}$, ${\alpha (m)=\beta (m)}$.

Prenons pour $\mathrm {E}$ l’intervalle ${(a,b)}$ lui-même ; ${\beta (x)}$ est identique à ${\alpha (x)}$ dans $i$ ; dans $i$ nous connaissons la dérivée $f(x)$ de ${\mathrm {F} (x)}$, par rapport à la fonction à variation bornée ${\alpha (x)}$ ; donc $f(x)$ y est totalisable, par rapport à ${\alpha (x)}$. Dans $i$ existe, par suite, un intervalle $j$ dans lequel $f(x)$ est sommable, par rapport à ${\alpha (x)}$ ; l’intégrale de Stieltjès de $f(x)$ fournissant ${\mathrm {F} (x)}$.

On connaît ainsi ${\mathrm {F} (x)}$ dans des intervalles qui couvrent l’intérieur des intervalles contigus à un certain ensemble fermé. De là on déduit ${\mathrm {F} (x)}$, d’abord dans les intervalles contigus considérés comme ensembles ouverts ; puis, comme on connaît les sauts de ${\mathrm {F} (x)}$ en tout point, dans les intervalles contigus fermés.

Supposons que, par cette opération ou toute autre, nous ayons déterminé ${\mathrm {F} (x)}$ dans les intervalles fermés contigus à un ensemble fermé $\mathrm {E}$. Soit ${\mathrm {G} (x)}$ la fonction déduite de ${\mathrm {F} (x)}$ comme ${\beta (x)}$ est déduite de ${\alpha (x)}$.