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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.
faisons de même pour 
. Il reste à diviser 
; prenons comme points de divisions les points 
, 
, …, 
; 
étant un entier quelconque. Dans 
, 
, … 
nous prenons des points 
en lesquels 
a respectivement les valeurs 
, 
, …, 
. Dans 
nous prenons en 
. Alors on a
![{\displaystyle \mathrm {S} =s+\sum _{k}^{k+l-1}\rho _{i}\left[\alpha (\mathrm {X} _{i+1}-\alpha (\mathrm {X} _{i})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17d459b511b39056ec763da82a29a394deaddf12)
,
étant la contribution des intervalles 
, , laquelle ne dépend pas du choix de . Or, pour assez grand, le second terme du second membre surpasse toute limite ; donc 
est aussi grand qu’on le veut. La définition de Stieltjès ne s’applique donc pas à et 
.
Ainsi nous ne savons plus attacher à chaque fonction continue une intégrale par rapport à , quand est à variation non bornée.
Le problème des fonctions primitives ne se posera d’ailleurs plus pour toutes les fonctions continues .
Prenons 
; la fonction est croissante dans les intervalles
![{\displaystyle p_{k}=\left[{\frac {1}{\left(2k+{\frac {1}{2}}\right)\pi }},{\frac {1}{\left(2k+{\frac {3}{2}}\right)\pi }}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9737068e1c67ac825000e9c56e5ff6085dd778fa)
,
décroissantes dans les intervalles
![{\displaystyle n_{k}=\left[{\frac {1}{\left(2k-{\frac {1}{2}}\right)\pi }},{\frac {1}{\left(2k+{\frac {1}{2}}\right)\pi }}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c59a88f674c43d0a99daf56d902163144482cd1)
.
Prenons continue dans (0, 1), nulle dans les 
, positive dans les 
; cela sera possible même si l’on exige que l’intégrale ![{\displaystyle {\textstyle \int _{p_{k}}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32945e2289dc31f403d20968d3119787d3aa36ca)
ait une valeur 
pourvu que tende vers zéro plus rapidement que l’accroissement de dans . Prenons
