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CHAPITRE XI.

élémentaires et immédiats, qui restent sans solution ; on va le voir.

Le cas où ${\alpha (x)}$ est à variation bornée est, d’après ce qui a été expliqué, le seul sans doute qui ait un intérêt physique. Mais au point de vue mathématique, il n’y a aucune raison pour ne considérer la dérivation d’une fonction ${\mathrm {F} (x)}$ par rapport à une fonction ${\alpha (x)}$ que dans l’hypothèse où ${\alpha (x)}$ est à variation bornée.

Or, si l’on abandonne cette hypothèse, à peu près aucune de nos conclusions ne subsiste. Montrons, par exemple, que si ${\alpha (x)}$ est à variation non bornée, il existe des fonctions continues $f(x)$ qui n’ont pas d’intégrale de Stieltjès par rapport à ${\alpha (x)}$, c’est-à-dire pour lesquelles les sommes ${\mathrm {S} =\textstyle \sum f(\xi _{i})\left[\alpha (x_{i+1})-\alpha (x_{i})\right]}$ ne tendent vers aucune limite déterminée et finie, quand on fait varier le choix des $x_{i}$ et des $\xi _{i}$ de façon que le maximum $\lambda$ de ${x_{i+1}-x_{i}}$ tende vers zéro.

En effet, ${\alpha (x)}$ étant à variation non bornée, on peut (p. 57), trouver une suite ordonnée de points $\mathrm {X} _{i}$ tels que la série

$\textstyle \sum \left[\alpha (\mathrm {X} _{i+1})-\alpha (\mathrm {X} _{i})\right]$

soit divergente. Alors on peut trouver une suite de nombres $\rho _{i}$ tendant vers zéro et tels que la série

$\textstyle \sum \rho _{i}\left[\alpha (\mathrm {X} _{i+1})-\alpha (\mathrm {X} _{i})\right]$

soit divergente et à termes positifs.

Supposons, pour fixer les idées, que les points $\mathrm {X} _{i}$ se succèdent dans l’ordre

$a\leqq \mathrm {X} _{1}<\mathrm {X} _{2}<\ldots <b_{1}\leqq b$ ;

$b_{1}$ étant la limite des $\mathrm {X} _{i}$. Prenons pour $f(x)$ une fonction continue, nulle de $a$ à $\mathrm {X} _{1}$, de $b_{1}$ à $b$ et aux points $\mathrm {X} _{i}$ et atteignant la valeur $\rho _{i}$ dans ${(\mathrm {X} _{i},\mathrm {X} _{i+1})}$.

Je dis que, quel que soit le maximum $\lambda$ imposé à la longueur des intervalles de subdivision de ${(a,b)}$, on peut choisir ces intervalles et les points $\xi _{i}$ de façon que la somme $\mathrm {S}$ correspondante surpasse toute limite assignée.

Soit $k$ la valeur de l’indice $i$ à partir de laquelle ${\mathrm {X} _{i+1}-\mathrm {X} _{i}}$ reste inférieur à $\lambda$. Divisons arbitrairement ${(a,\mathrm {X} _{k})}$ en intervalles de longueur $\lambda$ au plus et choisissons dans chacun d’eux un point $\xi$ ;