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CHAPITRE XI.

dans lesquelles on ne donnera à $x_{0}$ que des valeurs de discontinuité de ${\alpha (x)}$.

Étudions ce que donne la dérivation de ${{\mathcal {F}}(v)}$ en un point n’appartenant pas à $\mathrm {D}$. Dans un intervalle ${\mathrm {V} (x_{0}-0)<v<\mathrm {V} (x_{0}+0)}$ la fonction ${{\mathcal {F}}(x)}$ est formée par deux fonctions linéaires de pentes

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {F} (x_{0})-\mathrm {F} (x_{0}-0)}{\mathrm {V} (x_{0})-\mathrm {V} (x_{0}-0)}}&={\frac {\mathrm {F} (x_{0})-\mathrm {F} (x_{0}-0)}{\alpha (x_{0})-\alpha (x_{0}-0)}}\,{\frac {\alpha (x_{0})-\alpha (x_{0}-0)}{\mathrm {V} (x_{0})-\mathrm {V} (x_{0}-0)}}\\&=f(x_{0}).{'\!\mathrm {A} (v)}{\text{,}}\\[0.75ex]{\frac {\mathrm {F} (x_{0}+0)-\mathrm {F} (x_{0})}{\mathrm {V} (x_{0}+0)-\mathrm {V} (x_{0})}}&={\frac {\mathrm {F} (x_{0}+0)-\mathrm {F} (x_{0})}{\alpha (x_{0}+0)-\alpha (x_{0})}}\,{\frac {\alpha (x_{0}+0)-\alpha (x_{0})}{\mathrm {V} (x_{0}+0)-\mathrm {V} (x_{0})}}\\&=f(x_{0}).{'\!\mathrm {A} (v)}{\text{,}}\end{aligned}}$

dans ${\mathrm {V} (x_{0}-0)<v<\mathrm {V} (x_{0})}$ et ${\mathrm {V} (x_{0})<v<\mathrm {V} (x_{0}+0)}$. Sauf en ${v=\mathrm {V} (x_{0})}$ la dérivée de ${{\mathcal {F}}(v)}$ existe et peut se noter $f[x(v)].{'\!\mathrm {A} (v)}$, en utilisant la fonction $x(v)$ de la page 259.

Tout point $v_{0}$ n’appartenant pas à $\mathrm {D}$ et non situé dans les divers intervalles ${\left[\mathrm {V} (x_{0}-0),\mathrm {V} (x_{0}+0)\right]}$ correspond à une valeur unique $x_{0}$ par la formule ${v_{0}=\mathrm {V} (x_{0})}$, et $x_{0}$ n’est pas une valeur de discontinuité de ${\alpha (x)}$. Si l’on considère une valeur $v_{1}$ tendant vers $v_{0}$, le nombre ${x_{1}=x(v_{1})}$ tend alors vers ${x(v_{0})=x_{0}}$. Le nombre ${\mathrm {F} (x_{1})=\mathrm {F} \left[x(v_{1})\right]}$ est égal à ${{\mathcal {F}}(v_{1})}$ si ce nombre ${{\mathcal {F}}(v_{1})}$ résulte de la première partie de la définition de ${{\mathcal {F}}(v)}$. Dans ce cas on a

${\frac {{\mathcal {F}}(v_{1})-{\mathcal {F}}(v_{0})}{v_{1}-v_{0}}}={\frac {\mathrm {F} (x_{1})-\mathrm {F} (x_{0})}{\alpha (x_{1})-\alpha (x_{0})}}\,{\frac {\alpha (x_{1})-\alpha (x_{0})}{v_{1}-v_{0}}}$,

et quand $v_{1}$ tend vers zéro le premier rapport tend vers ${f(x_{0})}$, le second reste compris entre −1 et +1 et tend presque partout vers ${'\!\mathrm {A} (v_{0})}$.

Si la valeur de ${{\mathcal {F}}(v_{1})}$ résulte de la seconde partie de la définition de ${{\mathcal {F}}(v)}$ c’est que ${x(v_{1})}$ est l’abscisse d’un point singulier de ${\alpha (x)}$ et que $v_{1}$ est compris dans ${\left\{\mathrm {V} \left[x(v_{1})-0\right],\mathrm {V} \left[x(v_{1})+0\right]\right\}}$. Supposons, par exemple, que l’on ait

$\mathrm {V} \left[x(v_{1})\right]<v_{1}\leqq \mathrm {V} \left[x(v_{1})+0\right]$ ;

Dans cet intervalle ${{\mathcal {F}}(v)}$ est linéaire et le rapport ${\frac {{\mathcal {F}}(v_{1})-{\mathcal {F}}(v_{0})}{v_{1}-v_{0}}}$ est compris entre

${\frac {{\mathcal {F}}\left\{\mathrm {V} \left[x(v_{1})\right]\right\}-{\mathcal {F}}(v_{0})}{\mathrm {V} \left[x(v_{1})\right]-v_{0}}}$et${\frac {{\mathcal {F}}\left\{\mathrm {V} \left[x(v_{1})+0\right]+\varepsilon \right\}-{\mathcal {F}}(v_{0})}{\mathrm {V} \left[x(v_{1})+0\right]+\varepsilon -v_{0}}}$,