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CHAPITRE II.

on voit immédiatement que si $x$ n’est pas de la forme ${\frac {2p+1}{2n}}$ ($n$ et ${2p+1}$ étant premiers entre eux) $f(x)$ est continue^[1]. Au contraire, si $x$ est de la forme indiquée, quand $x$ tend en croissant vers ${\frac {2p+1}{2n}}$, $f(x)$ tend vers une limite que l’on note

$f\!\left({\frac {2p+1}{2n}}-0\right)$^[2]

et qui est

$f\!\left({\frac {2p+1}{2n}}-0\right)=f\!\left({\frac {2p+1}{2n}}\right)+{\frac {\pi ^{2}}{16n^{2}}}$ ;

quand $x$ tend vers ${\frac {2p+1}{2n}}$ en décroissant, $f(x)$ tend vers

$f\!\left({\frac {2p+1}{2n}}+0\right)=f\!\left({\frac {2p+1}{2n}}\right)-{\frac {\pi ^{2}}{16n^{2}}}$.

Dans tout intervalle, $f(x)$ a des points de discontinuité ; les considérations du Chapitre précédent ne sont pas applicables à $f(x)$.

En employant un procédé analogue à celui de Riemann, il était possible de former de nombreux exemples de fonctions très discontinues. En utilisant la notion maintenant classique de série uniformément convergente, il est facile de donner un énoncé général : une série uniformément convergente de fonctions discontinues $f_{n}$ définit une fonction $f$ qui admet pour points de discontinuité tous les points de discontinuité des fonctions $f_{n}$, pourvu que chacun de ces points ne soit point de discontinuité que pour une seule fonction $f_{n}$. Lorsqu’il n’en est pas ainsi, comme dans l’exemple de Riemann, il faut rechercher si les différentes discontinuités, que l’on rencontre pour la valeur considérée, ne se compensent pas de telle manière que $f$ soit continue.

On a souvent l’occasion d’appliquer un procédé analogue lorsque, connaissant des fonctions $f_{n}$ qui présentent une certaine singularité en des points isolés $\mathrm {A} _{n}$, on veut construire une fonction présentant cette singularité dans tout intervalle. On essaie si l’on n’obtiendrait pas le résultat désiré en prenant une série unifor-

1. On s’appuiera sur la convergence uniforme de la série donnant $f(x)$.
2. Cette notation est due à Dirichlet.