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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.

sous le signe ${\textstyle \sum }$ ; on a donc

$\mathrm {F} (b-0)-\mathrm {F} (a)=\lim _{\varepsilon \to 0}\sum l\varepsilon \,m_{\alpha (x)}\!(\mathrm {E} _{l})=\int _{a}^{b-0}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]$.

Mais nous avons vu que l’on a

${\frac {\mathrm {F} (b)-\mathrm {F} (b-0)}{\alpha (b)-\alpha (b-0)}}=f(b)$,

d’où

$\mathrm {F} (b)-\mathrm {F} (a)=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]$.

On aurait pu raisonner de même sur ${(a,x)}$, donc la fonction primitive, par rapport à ${\alpha (x)}$, d’une fonction $f(x)$ sommable, par rapport à ${\alpha (x)}$, est la fonction d’une variable intégrale indéfinie de $f(x)$ par rapport à ${\alpha (x)}$.

Nous venons de reprendre les raisonnements du Chapitre IX, mais en nous plaçant dans des conditions particulièrement simples. Pour suivre plus exactement les raisonnements de ce Chapitre, il faudrait introduire la notion de nombres dérivés par rapport à une fonction ${\alpha (x)}$. Le lecteur verra facilement que tous les résultats du Chapitre IX s’étendraient alors à l’intégration et à la dérivation par rapport à ${\alpha (x)}$, et très souvent littéralement. Bornons-nous à vérifier cet énoncé en relation avec celui qui précède : La fonction d’une variable intégrale indéfinie d’une fonction $f(x)$, par rapport à une fonction à variation bornée ${\alpha (x)}$, admet $f(x)$ pour dérivée par rapport à ${\alpha (x)}$, sauf tout au plus en un ensemble de points de mesure nulle, par rapport à ${\mathrm {V} (x)}$.

On a, par définition même,

$\mathrm {F} (x)=\int _{a}^{x}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]=\int _{0}^{\mathrm {V} (x)}f[x(v)].{'\!\mathrm {A} (v)}\,\mathrm {d} v$.

Sauf peut-être pour un ensemble $\mathrm {E} _{v}$ de valeurs de $v$, dont la mesure est nulle, la fonction

$\int _{0}^{v}f[x(v)].{'\!\mathrm {A} (v)}\,\mathrm {d} v$

admet $f[x(v)].{'\!\mathrm {A} (v)}$ pour dérivée et ${\mathrm {A} (v)}$ admet ${'\!\mathrm {A} (v)}$ pour dérivée.