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CHAPITRE XI.

deurs coexistantes. Soit ${f(\mathrm {P} ,u_{1},u_{2},\ldots ,u_{p})}$ une fonction d’un point $\mathrm {P}$ et de $p$ variables, supposons $f$ homogène et de degré 1 par rapport à l’ensemble de ces variables. Soient, d’autre part, $p$ fonctions additives de domaine coexistantes ${\psi _{1}(\mathrm {E} )}$, ${\psi _{2}(\mathrm {E} )}$, …, ${\psi _{p}(\mathrm {E} )}$.

La somme

$\textstyle \sum f\left[\mathrm {P} _{i},\psi _{1}(\mathrm {E} _{i}),\psi _{2}(\mathrm {E} _{i}),\ldots ,\psi _{p}(\mathrm {E} _{i})\right]$

étendue à une division d’un domaine ou d’un ensemble en ensembles partiels $\mathrm {E} _{i}$, $\mathrm {P} _{i}$ désignant un point de $\mathrm {E} _{i}$, définira par sa limite, quand elle existe, une sorte d’intégrale de Stieltjès de $f$ par rapport aux fonctions $\psi _{1}$, $\psi _{2}$, …, $\psi _{p}$.

Ces sommations n’ont pas encore été étudiées ; M. Hellinger^[1] a pourtant utilisé une intégration qui se note $\int f(x){\frac {\mathrm {d} \psi \,\mathrm {d} \chi }{\mathrm {d} \rho }}$ et qui est la limite des sommes

${\textstyle \sum f(x_{i})}{\frac {\psi (\mathrm {E} _{i})\,\chi (\mathrm {E} _{i})}{\rho (\mathrm {E} _{i})}}$ ;

intégrale qu’a ensuite étudiée à son tour M. Radon.

Terminons ce paragraphe en signalant que, d’après Cauchy, la notion de grandeurs coexistantes est de nature élémentaire et rendrait de grands services si on l’utilisait dès les débuts de l’Analyse ou même de la Géométrie. Il nous semble bien, en tout cas, qu’il y aurait grand avantage à exposer tout d’abord la notion d’intégrale par rapport à une fonction de domaine. On aurait une vue synthétique de l’ensemble des types d’intégrales de fonctions continues, la théorie de ces intégrales serait obtenue plus rapidement et pourtant on préparerait mieux les applications géométriques et physiques.

V. — Fonction primitive par rapport à une fonction.
Totalisation par rapport à une fonction.

Pour le cas des fonctions d’une seule variable, le problème des fonctions primitives qu’on vient de rencontrer s’énonce ainsi : Étant données dans ${(a,b)}$ une fonction à variation bornée ${\alpha (x)}$ et une fonction $f(x)$, trouver une fonction ${\mathrm {F} (x)}$ qui admette en tout point $f(x)$ comme dérivée par rapport à ${\alpha (x)}$.

1. Journal de Crelle, Bd 136.