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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.

Ces intégrales se réduiraient aux intégrales ordinaires si la fonction ${\psi (\mathrm {D} )}$ se réduisait à la mesure, au sens ordinaire, du domaine $\mathrm {D}$ ; l’extension de la notion de mesure étudiée par M. de la Vallée Poussin, la forme donnée par M. Radon à la définition de l’intégrale se relient donc étroitement aux considérations physiques qui viennent d’être développées.

La définition de M. Radon s’impose particulièrement si, au lieu d’examiner avec Cauchy une généralisation du problème des fonctions primitives, on étudie une généralisation du problème des quadratures. Supposons qu’on sache que pour tout domaine ou ensemble $\mathrm {E}$, le produit ${\psi (\mathrm {E} )\lambda }$ — le nombre $\lambda$ étant intermédiaire entre les limites inférieure $l$ et supérieure $\mathrm {L}$ des valeurs prises sur $\mathrm {E}$ par une fonction ${f(\mathrm {P} )}$ — est une valeur approchée de ${\varphi (\mathrm {E} )}$ et d’autant plus approchée que ${\mathrm {L} -l}$ est plus petit. Nous serons tout naturellement conduits, pour calculer ${\varphi (\mathrm {D} )}$, à examiner la somme ${\textstyle \sum i\varepsilon \psi (\mathrm {E} _{i})}$, où $\mathrm {E} _{i}$ est formé des points de $\mathrm {D}$ en lesquels on a ${i\varepsilon \leqq f(\mathrm {P} )<(i+1)\varepsilon }$. Or ceci est la définition de M. Radon.

Remarquons que, dans l’Analyse classique, on considère à diverses occasions des sommes ${\textstyle \sum \psi (\mathrm {D} _{i}).f(\mathrm {P} _{i})}$. Par exemple, lorsque l’on calcule une intégrale curviligne ${\textstyle \int _{c}f(x,y,z)\,\mathrm {d} x}$ on cherche la limite de

$\textstyle \sum \left[x(t_{i+1})-x(t_{i})\right]f[x(t_{i}),y(t_{i}),z(t_{i})]$ ;

et l’on a alors affaire à une fonction ${\psi (\mathrm {D} )}$ égale à la mesure du segment projection, sur $\mathrm {O} x$, de l’arc $\mathrm {D}$.

Ordinairement de telles intégrales se considèrent groupées

$\int \mathrm {P} \,\mathrm {d} x+\mathrm {Q} \,\mathrm {d} y+\mathrm {R} \,\mathrm {d} z$.

Si nous rapprochons ceci de la formule classique qui donne l’arc d’une courbe dans les cas simples

$\int {\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}}}$,

formule que l’on doit traiter comme une intégrale curviligne, en y substituant $x,y,z$ en fonction d’un même paramètre $t$ ; on sera conduit à examiner des intégrations par rapport à plusieurs fonctions d’ensembles, ou si l’on veut par rapport à plusieurs gran-