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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.

remplacer ${\alpha (x)}$ par une fonction égale à ${\alpha (x)}$ en $a$, en $b$ et en tous les points de continuité de ${\alpha (x)}$ et qui n’a en aucun point deux sauts de signes contraires. Supposons donc que ${\alpha (x)}$ n’ait plus que des singularités utiles.

Une intégrale indéfinie par rapport à ${\alpha (x)}$ est une fonction d’ensemble mesurable B :

1^o  Qui est complètement additive ;

2^o  Qui est nulle dans tout ensemble de mesure nulle par rapport à la variation totale ${\mathrm {V} (x)}$ de la fonction ${\alpha (x)}$, supposée sans singularités inutiles,

et réciproquement.

La propriété énoncée des intégrales indéfinies n’est que la traduction du fait que, considérée comme attachée aux ensembles de ${(0,\mathrm {V} )}$, cette fonction d’ensemble est absolument continue. Examinons la réciproque.

À une fonction $\varphi$ d’ensemble $\mathrm {E} _{x}$ mesurable B, notre changement de variable fait correspondre une fonction $\Phi$ d’ensemble ${\mathcal {E}}_{v}$ mesurable B mais qui n’est pas définie pour tout ensemble mesurable B de ${(0,\mathrm {V} )}$. On sait, en effet, sa valeur $\mathrm {W}$ dans un intervalle ${(v_{1},v_{2})}$ correspondant à un point singulier $x_{0}$ de ${\alpha (x)}$ mais on ne sait pas sa valeur $\mathrm {U}$ dans un ensemble $e_{v}$ mesurable B contenu dans ${(v_{1},v_{2})}$ ; convenons qu’on aura

${\frac {\mathrm {U} }{m(e_{v})}}={\frac {\mathrm {W} }{v_{2}-v_{1}}}$

Cette convention suffit à achever de déterminer $\Phi$ pour tous les ensembles mesurables B de ${(0,\mathrm {V} )}$, car nous voulons que $\Phi$ soit complètement additive.

$\varphi$ étant nulle dans tout ensemble de mesure nulle par rapport à ${\mathrm {V} (x)}$, $\Phi$ est nulle dans tout ensemble de mesure nulle. Donc $\Phi$ est une intégrale indéfinie, et, d’après la façon dont a été choisie $\Phi$ à l’intérieur de chaque ${(v_{1},v_{2})}$, la fonction, sommable par rapport à $v$, dont $\Phi$ est l’intégrale indéfinie, est constante dans ${(v_{1},v_{2})}$ ; on a bien

$\Phi ({\mathcal {E}}_{v})=\int _{{\mathcal {E}}_{v}}f[x(v)].{'\!\mathrm {A} (v)}\,\mathrm {d} v$,

pour une certaine fonction $f(x)$ ; la presque dérivée ${'\!\mathrm {A} (v)}$ étant