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CHAPITRE XI.

Il est d’ailleurs clair d’après ce qui précède, que ${\Psi _{1}(v)}$ est la transformée de la fonction des sauts ${\mathrm {S} (x)}$ de ${\mathrm {F} (x)}$.

${\Psi _{1}(v)}$ étant absolument continue, il nous suffit d’exprimer que ${\Psi (v)-\Psi _{1}(v)=\Psi _{2}(v)}$ est aussi absolument continue. C’est-à-dire que si l’on forme la somme ${\textstyle \sum \Delta \Psi _{2}}$, étendue à un ensemble $\mathrm {I} _{v}$ d’intervalles que l’on peut supposer n’ayant jamais ni leurs origines ni leurs extrémités dans les intervalles ${(v_{1},v_{2})}$ puisque ${\Psi _{2}(x)}$ est constante dans de tels intervalles, et que l’on peut supposer ouverts puisque ${\Psi _{2}(v)}$ est continue — dont la mesure totale est $\varepsilon$, tend vers zéro avec $\varepsilon$.

Mais puisque les $\mathrm {I} _{v}$ n’ont ni leurs origines ni leurs extrémités dans les ${(v_{1},v_{2})}$ et que ce sont des intervalles ouverts ; ils sont les transformés d’ensembles $\mathrm {I} _{x}$ d’intervalles ouverts de l’axe des $x$ et la somme à considérer est

$\sum _{\mathrm {I} _{x}}\left|\Delta \left[\mathrm {F} (x)-\mathrm {S} (x)\right]\right|$.

${\Psi _{1}(v)}$ est absolument continue,

$\sum _{\mathrm {I} _{x}}\left|\Delta \Psi _{1}\right|=\sum _{\mathrm {I} _{x}}\left|\Delta \mathrm {S} \right|$

tend vers zéro avec $\varepsilon$ ; donc il faut et il suffit que ${\textstyle \sum _{\mathrm {I} _{x}}|\Delta \mathrm {F} |}$ tende vers zéro.

Pour qu’une fonction ${\mathrm {F} (x)}$ soit une intégrale indéfinie par rapport à ${\alpha (x)}$, il faut et il suffit :

1^o  Que ${\mathrm {F} (x)}$ soit à variation bornée ;

2^o  Qu’en tout point les sauts de droite et de gauche de ${\mathrm {F} (x)}$ soient proportionnels à ceux de ${\alpha (x)}$ ;

3^o  Que la somme ${\Delta |\mathrm {F} (x)|}$, étendue à un ensemble d’intervalles ouverts dont la mesure, par rapport à la variation totale ${\mathrm {V} (x)}$ de ${\alpha (x)}$ est égale à $\varepsilon$, tende vers zéro avec $\varepsilon$.

La réponse est bien plus simple s’il s’agit de savoir à quoi l’on peut reconnaître qu’une fonction d’ensemble mesurable B est une intégrale indéfinie par rapport à ${\alpha (x)}$ donnée. Rappelons-nous d’abord que, pour le calcul d’une telle intégrale indéfinie, on peut supprimer toutes les singularités inutiles de ${\alpha (x)}$, c’est-à-dire