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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.

de discontinuité de ${\alpha (x)}$, nous prendrons

${\begin{aligned}f(x_{0})&={\frac {\Psi [\mathrm {V} (x_{0})]-\Psi [\mathrm {V} (x_{0}-0)]}{\alpha (x_{0})-\alpha (x_{0}-0)}}={\frac {\mathrm {F} (x_{0})-\mathrm {F} (x_{0}-0)}{\alpha (x_{0})-\alpha (x_{0}-0)}}{\text{,}}\\f(x_{0})&={\frac {\Psi [\mathrm {V} (x_{0}+0)]-\Psi [\mathrm {V} (x_{0})]}{\alpha (x_{0}+0)-\alpha (x_{0})}}={\frac {\mathrm {F} (x_{0}+0)-\mathrm {F} (x_{0})}{\alpha (x_{0}+0)-\alpha (x_{0})}}{\text{ ;}}\end{aligned}}$

ces deux expressions de ${f(x_{0})}$ sont bien d’accord à cause de la première condition.

Si $x_{0}$ est un point de continuité de ${\alpha (x)}$ pour lequel l’équation ${\mathrm {V} (x)=\mathrm {V} (x_{0})}$ n’admet que la racine $x_{0}$, nous prendrons

$f(x_{0})={\frac {'\!\Psi (v)}{'\!\mathrm {A} (v)}}$ ;

quantité finie puisque ${'\!\mathrm {A} (v)}$ a été pris égal à +1 ou à −1.

Enfin aux points où $f(x)$ n’est pas encore définie nous prendrons $f(x)$ arbitrairement ; ces points correspondant en effet à une infinité dénombrable de valeurs de ${v=\mathrm {V} (x)}$ n’ont aucune influence sur une intégrale prise de 0 à $\mathrm {V}$.

Avec ce choix il est clair que l’on a

$\Psi (v)=\mathrm {C} +\int _{0}^{v}f[x(v)].{'\!\mathrm {A} (v)}\,\mathrm {d} v$,

donc

$\mathrm {F} (x)=\mathrm {C} +\int _{a}^{x}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]$.

Transformons la seconde condition trouvée ; pour cela remarquons que, dès que la première condition est remplie, on peut calculer $f(x)$ aux points de discontinuité de ${\alpha (x)}$ donc ${f[x(v)]}$ dans les divers intervalles ${(v_{1},v_{2})}$. Désignons par $g(v)$ la fonction égale à ${f[x(v)]}$ dans les intervalles ${(v_{1},v_{2})}$ et nulle ailleurs. La fonction ${g(v).{'\!\mathrm {A} (v)}}$ est sommable, car dans ${(v_{1},v_{0})}$ son intégrale est ${\mathrm {F} (x_{0})-\mathrm {F} (x_{0}-0)}$ et dans ${(v_{0},v_{2})}$ elle est ${\mathrm {F} (x_{0}+0)-\mathrm {F} (x_{0})}$ et la somme des valeurs absolues de toutes ces intégrales est bornée puisque ${\mathrm {F} (x)}$ a été supposée à variation bornée.

La fonction

$\Psi _{1}(v)=\int _{0}^{v}g(v).{'\!\mathrm {A} (v)}\,\mathrm {d} v$

peut donc être calculée dès que la première condition est remplie.