286
CHAPITRE XI.
Une première condition c’est que soit à variation bornée et ait en tout point des sauts de droite et de gauche proportionnels à ceux de , d’après l’expression de la fonction des sauts d’une intégrale donnée (p. 256) :
.
Cherchons les autres conditions : nous voulons avoir
pour une fonction inconnue . La fonction continue
est définie dans tout . Pour toute valeur telle que l’équation ait au moins une racine, on a
;
les seules valeurs de en lesquelles on n’a pas cette égalité sont donc celles pour lesquelles on a une inégalité de la forme
ou de la forme
.
Dans , est constant et égal à ; est linéaire dans et et prend les valeurs , , pour , , . Donc est linéaire dans et et y subit les accroissements
,
.
Il résulte de là que si l’on pose et si l’on convient de compléter la définition de de manière qu’elle soit partout continue et qu’elle soit linéaire dans les intervalles où elle n’était pas encore déterminée, on doit avoir . En d’autres termes doit être absolument continue en .
Montrons que cette condition jointe à la précédente, est suffisante. Supposons donc ces conditions vérifiées. Si est un point