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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.

se fait que les notions ensembles mesurables B, fonctions mesurables B soient indépendantes de la fonction ${\alpha (x)}$ déterminant les problèmes de mesure ou d’intégration dont on s’occupe, alors que les notions ensembles mesurables et fonctions mesurables varient avec ${\alpha (x)}$.

C’est qu’il s’agit de notions de caractères entièrement différents ; M. Denjoy dirait que les premières sont descriptives et les secondes métriques. M. Borel avait introduit les ensembles B à l’occasion de la théorie de la mesure, et c’est de là que vient leur nom, mais il ne les a pas caractérisées par une propriété métrique : il indique quelles sont les opérations géométriques qui, effectuées à partir d’intervalles et de points, permettent d’obtenir ces ensembles. L’importance des fonctions mesurables B, en Analyse, vient surtout de ce que ces fonctions sont toutes celles qui rentrent dans la classification de M. Baire, toutes celles qui sont susceptibles d’une représentation analytique^[1]. Ici, l’importance des ensembles et fonctions mesurables B vient, comme on a dû le remarquer, de ce que, pour eux, la mesure ou l’intégrale est déterminée par celles des conditions de nos problèmes qui se traduisent par des égalités, et sans qu’il soit nécessaire d’utiliser celles qui impliquent des inégalités ; c’est-à-dire à l’aide des conditions 2^o , 3^o  (p. 278), des conditions 1^o , 2^o , 3^o , 4^o  (p. 281). Or le champ de ces ensembles est si vaste qu’il a fallu de grands efforts pour construire quelques exemples d’ensembles ou fonctions non mesurables B ; c’est-à-dire qu’il n’y aurait aucun inconvénient pratique à se limiter à l’étude des ensembles et fonctions mesurables B.

Proposons-nous de caractériser les fonctions ${\mathrm {F} (x)}$ qui sont des intégrales indéfinies par rapport à une fonction à variation bornée ${\alpha (x)}$, connue ; ces fonctions ${\mathrm {F} (x)}$ sont celles que l’on pourrait appeler fonctions absolument continues par rapport à ${\alpha (x)}$.

à la fois au sens ordinaire et par rapport à ${\alpha (x)}$, l’extension obtenue (p. 259) à l’aide du même changement de variable ne s’applique qu’aux fonctions qui sont à la fois mesurables et sommables au sens ordinaire et par rapport à ${\alpha (x)}$.

Il est d’ailleurs clair que deux de ces définitions sont toujours d’accord lorsqu’elles s’appliquent toutes deux, puisqu’elles définissent des fonctionnelles linéaires vérifiant la troisième condition de la page 267 et qu’elles sont identiques pour les fonctions continues.

1. Lebesgue, Journ. de Math., 1905.