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CHAPITRE I. — L’INTÉGRALE AVANT RIEMANN.

Tout point de est limite de points de certains intervalles  ; il est facile de voir que si des points de , , … tendent vers , , , … tendent vers une limite déterminée ; on prend cette limite pour valeur de . est ainsi partout déterminée, c’est une fonction continue non constante dans et, cependant, constante dans tout intervalle ne contenant pas de points de . De sorte que, s’il existe une fonction , satisfaisant à l’égalité (1) dans tout intervalle où il n’y a pas de points de , satisfait aussi à cette condition.

Maintenant, si l’on remarque que les ensembles qui, à la page 11, ont été désignés par et sont réductibles en même temps[1], on voit que, pour que la définition adoptée s’applique, il faut et il suffit que l’ensemble des points de discontinuité de la fonction à intégrer soit réductible et qu’il existe une fonction continue vérifiant (1) dans les intervalles où est continue.

  1. Il faut bien remarquer que peut être dénombrable sans que le soit, est alors un ensemble dénombrable non réductible ; c’est le cas de l’ensemble des nombres rationnels.