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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.

Désignons par $\psi _{i}$ ($i=0,1,2,\ldots ,n$), la fonction égale à 1 quand $x$ appartient à ${\mathrm {E} [l_{i}\leqq f(x)<l_{i+1}]}$ et nulle ailleurs. Puisque nous connaissons ${\mathrm {I} (\psi _{i})}$, des conditions 1 et 2 résulte ${\mathrm {I} (\varphi )}$, pour la fonction

$\varphi (x)=\sum _{0}^{n}l_{i}\,\psi _{i}(x)$.

Or ${\varphi (x)}$ tend uniformément vers $f(x)$ quand $\varepsilon$ tend vers zéro, puisque l’on a

$0\leqq f(x)-\varphi (x)<\varepsilon$,

donc, d’après 2^o ,

$\mathrm {I} (f)=\lim _{\varepsilon =0}{\mathrm {I} [\varphi (x)]}=\lim _{\varepsilon =0}{\sum _{0}^{n}l_{i}\,m_{\alpha (x)}[\mathrm {E} (\psi _{i}=1)]}$.

L’intégrale d’une fonction bornée est obtenue.

Si $f(x)$ est encore supposée mesurable par rapport à ${\alpha (x)}$ mais n’est plus nécessairement supposée bornée, les $l_{i}$ seront pris échelonnés de ${-\infty }$ à ${+\infty }$ et distants les uns des autres de $\varepsilon$ au plus. Alors on voit de suite que si la série infinie dans les deux sens

$\sum _{0}^{n}m_{v(x)}[\mathrm {E} (\psi _{i}=1)]$

est absolument convergente pour un choix des $l_{i}$ elle le sera pour tout choix des $l_{i}$ et quel que soit $\varepsilon$. La fonction $f(x)$ est dite alors sommable par rapport à ${\alpha (x)}$. Du n^o 3^o  il résulte que, pour une telle fonction, on a encore

$\mathrm {I} (f)=\lim _{\varepsilon =0}{\sum _{-\infty }^{+\infty }l_{i}\,m_{\alpha (x)}[\mathrm {E} (\psi _{i}=1)]}$ ;

ce que l’on peut écrire encore

$\mathrm {I} (f)=\lim _{\varepsilon =0}{\sum _{-\infty }^{+\infty }l_{i}\,m_{\alpha (x)}[\mathrm {E} (l_{i}\leqq f(x)<l_{i+1})]}$.

L’intégrale, par rapport à ${\alpha (x)}$, d’une fonction sommable, par rapport à ${\alpha (x)}$, est ainsi définie dans tous les cas exactement comme dans le cas particulier ${\alpha (x)\equiv x}$.