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CHAPITRE XI.

et nous retomberons sur les mêmes considérations qu’au Chapitre VII.

Considérons une fonction $\psi$ ne prenant que les valeurs 0 et 1. Si ${\mathrm {E} [\psi =1]}$ est un intervalle ${(l,m)}$, $\psi$ est la limite de la suite décroissante des fonctions continues $f_{p}$ égales à 1 dans ${(l,m)}$, nulles en dehors de ${\left(l-{\frac {\scriptstyle 1}{p}},m+{\frac {\scriptstyle 1}{p}}\right)}$, linéaires dans ${\left(l-{\frac {\scriptstyle 1}{p}},l\right)}$, ${\left(m,m+{\frac {\scriptstyle 1}{p}}\right)}$. De 1^o et de 3^o il résulte que ${\mathrm {I} (\psi )}$ est la limite de ${\mathrm {I} (f_{p})}$, nombre qui, étant l’intégrale de Stieltjès de la fonction continue $f_{p}$, diffère de moins en moins de ${\alpha (m+0)-\alpha (l-0)}$ c’est-à-dire de ${m_{\alpha (x)}[\mathrm {E} (\psi =1)]}$. On a donc

$\mathrm {I} (\psi )=m_{\alpha (x)}[\mathrm {E} (\psi =1)]$,

lorsque ${\mathrm {E} [\psi =1]}$ est un intervalle. Par l’addition de telles fonctions et l’application de la condition 3^o, on voit qu’on a la même égalité lorsque ${\mathrm {E} [\psi =1]}$ est un ensemble d’intervalles. Supposons maintenant que ${\mathrm {E} [\psi =1]}$ soit un ensemble mesurable par rapport à $\alpha$ et enfermons cet ensemble dans des ensembles d’intervalles fournissant des sommes ${\textstyle \sum \delta v}$ tendant vers la plus petite limite possible ; nous pourrons supposer d’ailleurs que chacun de ces ensembles d’intervalles contient les suivants. À ces ensembles d’intervalles correspondent des fonctions $\psi _{1}$, $\psi _{2}$, …, ne prenant que les valeurs 0 et 1, et telles que ces ensembles se notent ${\mathrm {E} [\psi _{1}=1]}$, ${\mathrm {E} [\psi _{2}=1]}$, …. Soit $\psi _{0}$ la fonction vers laquelle tendent en décroissant les fonctions $\psi _{i}$. On a, d’après 3^o,

$\mathrm {I} (\psi _{0})={\text{limite de }}\mathrm {I} [\psi _{i}]={\text{limite }}m_{\alpha (x)}[\mathrm {E} (\psi _{i}=1)]=m_{\alpha (x)}[\mathrm {E} (\psi =1)]$

et, d’après 5^o,

$\mathrm {I} [\psi _{0}]=\mathrm {I} [\psi ]$,

d’où encore

$\mathrm {I} [\psi ]=m_{\alpha (x)}[\mathrm {E} (\psi =1)]$.

Soit maintenant $f(x)$ une fonction bornée et mesurable par rapport à ${\alpha (x)}$, c’est-à-dire telle que tous les ensembles ${\mathrm {E} [l_{i}\leqq f(x)<l_{i+1}]}$ soient mesurables par rapport à ${\alpha (x)}$.

Soit ${(l,\mathrm {L} )}$ un intervalle contenant à son intérieur l’intervalle de variation de $f(x)$ ; partageons cet intervalle à l’aide des nombres

$l_{0}=l<l_{1}<l_{2}<\ldots <l_{n}=\mathrm {L}$,

supposons que ${l_{i+1}-l_{i}}$ ne soit jamais supérieur à $\varepsilon$.