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CHAPITRE XI.
et nous retomberons sur les mêmes considérations qu’au Chapitre VII.
Considérons une fonction ne prenant que les valeurs 0 et 1. Si est un intervalle , est la limite de la suite décroissante des fonctions continues égales à 1 dans , nulles en dehors de , linéaires dans , . De 1o et de 3o il résulte que est la limite de , nombre qui, étant l’intégrale de Stieltjès de la fonction continue , diffère de moins en moins de c’est-à-dire de . On a donc
,
lorsque est un intervalle. Par l’addition de telles fonctions et l’application de la condition 3o, on voit qu’on a la même égalité lorsque est un ensemble d’intervalles. Supposons maintenant que soit un ensemble mesurable par rapport à et enfermons cet ensemble dans des ensembles d’intervalles fournissant des sommes tendant vers la plus petite limite possible ; nous pourrons supposer d’ailleurs que chacun de ces ensembles d’intervalles contient les suivants. À ces ensembles d’intervalles correspondent des fonctions , , …, ne prenant que les valeurs 0 et 1, et telles que ces ensembles se notent , , …. Soit la fonction vers laquelle tendent en décroissant les fonctions . On a, d’après 3o,
et, d’après 5o,
,
d’où encore
.
Soit maintenant une fonction bornée et mesurable par rapport à , c’est-à-dire telle que tous les ensembles soient mesurables par rapport à .
Soit un intervalle contenant à son intérieur l’intervalle de variation de ; partageons cet intervalle à l’aide des nombres
,
supposons que ne soit jamais supérieur à .