rapport à sont, par définition, les mêmes, nous savons quels sont les ensembles mesurables par rapport à .
De plus, la mesure par rapport à d’un intervalle est , c’est-à-dire l’accroissement subi par la fonction , dans l’intervalle transformé de . Donc la mesure qui vient d’être définie n’est pas différente de la fonction complètement additive de l’ensemble déterminée sur par la fonction absolument continue ; les définitions mêmes de ces deux fonctions sont identiques. Ainsi on a
ce qui permet d’énoncer toutes les propriétés de la mesure à partir de celles connues des intégrales de fonctions sommables. Bornons-nous à cette indication et passons à l’extension de la notion d’intégrale.
Le problème d’intégration que nous avons résolu au Chapitre VII peut être énoncé ainsi :
Attacher à toute fonction définie dans un nombre tel que
1o |
; | |
2o |
, | |
, est uniformément convergente ; lorsque la série |
3o et lorsque cette série est convergente et à termes positifs ;
4o se réduit à l’intégrale connue de lorsque est continue ;
5o si ne diffère de qu’aux points d’un ensemble de mesure nulle.
Nous conserverons cet énoncé pour le prolongement de l’intégrale de Stieltjès ; seulement, l’intégrale et la mesure dont il est parlé aux nos 4o et 5o seront maintenant l’intégrale et la mesure par rapport à .
Il nous suffit pour traiter ce problème de reprendre, légèrement modifiés à cause de la condition 5o, les raisonnements utilisés pour le prolongement d’une fonctionnelle linéaire, page 267,