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CHAPITRE XI.

a fortiori vers zéro et comme l’on a évidemment

$m_{\alpha (x)}\left[{\mathcal {E}}_{x}^{i}\right]+m_{\alpha (x)}\left[{\mathcal {F}}_{x}^{i}\right]=m_{\alpha (x)}\left[\alpha \leqq x\leqq b\right]+\tau ^{i}\delta \alpha$,

il en résulte

$m(\mathrm {ext.} )_{\alpha (x)}\left[\mathrm {E} _{x}\right]+m(\mathrm {ext.} )_{\alpha (x)}\left[\mathrm {F} _{x}\right]=m_{\alpha (x)}\left[\alpha \leqq x\leqq b\right]$,

c’est-à-dire

$m(\mathrm {ext.} )_{\alpha (x)}\left[\mathrm {E} _{x}\right]=m(\mathrm {int.} )_{\alpha (x)}\left[\mathrm {E} _{x}\right]$.

Ainsi les mesures extérieure et intérieure, par rapport à ${\alpha (x)}$, d’un ensemble mesurable par rapport à ${\alpha (x)}$ sont égales. Leur valeur commune est la mesure de l’ensemble, prise par rapport avec ${\alpha (x)}$.

Pour démontrer ce dernier point, remarquons que l’ensemble ${{\mathcal {E}}_{x}^{i}-\mathrm {E} _{x}}$, étant enfermé dans les parties communes à ${\mathcal {E}}_{x}^{i}$ et ${\mathcal {F}}_{x}^{i}$ a pour mesure par rapport à $v(x)$ au plus ${\tau ^{i}\delta \alpha }$. A fortiori on a

$\left\vert m_{\alpha (x)}\left[{\mathcal {E}}_{x}^{i}-\mathrm {E} _{x}\right]\right\vert <\tau ^{i}\delta v$ ;

d’où l’on tire

$m_{\alpha (x)}\left[\mathrm {E} _{x}\right]=\lim _{i=\infty }{m_{\alpha (x)}\left[{\mathcal {E}}_{x}^{i}\right]}=m(\mathrm {ext.} )_{\alpha (x)}\left[\mathrm {E} _{x}\right]$.

Ayant ainsi trouvé le seul nombre qui puisse satisfaire aux conditions du problème de la mesure, il resterait à vérifier qu’il y satisfait effectivement. Pour abréger, et pour revenir à des considérations antérieures, tirons cela de la correspondance entre ensembles ${\mathrm {E} _{x}}$ situés sur ${(a,b)}$ et ensembles ${\mathrm {E} _{v}}$ de ${(0,\mathrm {V} )}$ qui nous a déjà servi^[1] ; correspondance dans laquelle à tout point $x$ de ${(a,b)}$ on associe l’intervalle ${\left[v(x-0),v(x+0)\right]}$ de ${(0,\mathrm {V} )}$. À tout intervalle ${\mathrm {E} _{x}}$ correspond alors un intervalle ${\mathrm {E} _{v}}$ dont la longueur est la mesure de ${\mathrm {E} _{x}}$ par rapport à $v(x)$. Dès lors les ensembles ${\mathrm {E} _{x}}$ mesurables par rapport à $v(x)$ sont ceux qui fournissent des ensembles ${\mathrm {E} _{v}}$ mesurables au sens ordinaire et l’on a pour eux,

$m_{v(x)}\left[\mathrm {E} _{x}\right]=m\left[\mathrm {E} _{v}\right]$.

Comme les ensembles mesurables par rapport à ${\alpha (x)}$ et par

1. Voir page 259. Pour des démonstrations directes on pourra se reporter au Livre déjà cité de M. de la Vallée Poussin.