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L’INTÉGRALE AVANT RIEMANN.

déterminée quand $\mathrm {E} ^{\omega }$ n’a qu’un nombre fini de points. On passe ensuite au cas où soit $\mathrm {E} ^{\omega +1}$, soit $\mathrm {E} ^{\omega +2}$,… n’a qu’un nombre fini de points ; puis au cas où c’est $\mathrm {E} ^{2\omega }$ qui jouit de cette propriété, et ainsi de suite.

Nous voyons ainsi que, si $\mathrm {E}$ est réductible, $\mathrm {F} (x)$ est bien déterminée, de sorte que notre définition s’applique ; il existe alors une intégrale que l’on obtient par l’application répétée de la méthode de Cauchy-Dirichlet.

Pour avoir des exemples de fonctions auxquelles s’applique cette méthode, il suffit de prendre un ensemble réductible $\mathrm {E}$, de ranger ses points en suite simplement infinie, $x_{1}$, $x_{2}$, …, et de former la série

$f(x)=\sin {\frac {1}{x-x_{1}}}+{\frac {1}{2}}\sin {\frac {1}{x-x_{2}}}+\ldots +{\frac {1}{2^{p}}}\sin {\frac {1}{x-x_{p+1}}}+\ldots$^[1].

Supposons maintenant que l’ensemble $\mathrm {E}$ des points singuliers de $f(x)$ ne soit pas réductible. Nous allons voir que, s’il existe une fonction $\mathrm {F} (x)$ satisfaisant à la condition (1) dans tout intervalle où $f(x)$ est continue, il en existe une infinité.

Soit $\mathrm {E} ^{\alpha }$ celui des dérivés de $\mathrm {E}$ qui est parfait ; $\mathrm {E} ^{\alpha }$ s’obtient en enlevant de l’intervalle considéré ${(a,b)}$ les points intérieurs à des intervalles $\delta _{1}$, $\delta _{2}$, …, qui forment une suite dénombrable si $\mathrm {E}$ est non dense dans tout intervalle, ce qui est le seul cas qui nous intéresse^[2].

Définissons une fonction $\varphi (x)$ par la condition d’être nulle pour ${x=a}$, égale à 1 pour ${x=b}$. En tous les points de $\delta _{1}$, $\varphi (x)={\frac {1}{2}}$. En tous les points de $\delta _{2}$, $\varphi (x)={\frac {1}{4}}$, si $\delta _{2}$ est entre $a$ et $\delta _{1}$ ; et $\varphi (x)={\frac {3}{4}}$, si $\delta _{2}$ est entre $\delta _{1}$ et $b$. D’une façon générale, ayant attribué à $\varphi (x)$, dans $\delta _{1}$, $\delta _{2}$, …, $\delta _{n-1}$, les valeurs $\Delta _{1}$, $\Delta _{2}$, …, $\Delta _{n-1}$, on attribue à $\varphi (x)$, dans $\delta _{n}$, la valeur ${\frac {\Delta _{i}+\Delta _{j}}{2}}$, $i$ et $j$ étant les indices de ceux des deux intervalles $\delta _{1}$, $\delta _{2}$, …, $\delta _{n-1}$ qui comprennent $\delta _{n}$.

1. D’après les propriétés des séries uniformément convergentes, $f(x)$ a tous les points de $\mathrm {E}$ pour points de discontinuité. On verra facilement que la série précédente est intégrable terme à terme.

   Pour des exemples d’ensembles réductibles, voir la Note à la fin du Volume.

2. Car si $\mathrm {E}$ est dense dans un intervalle, $\mathrm {F} (x)$ est certainement indéterminée.