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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.

on a

${\begin{aligned}\sum _{0}^{n}l_{i}\,\delta _{i}p-\sum _{0}^{n}\mathrm {L} _{i}\,\delta _{i}n\leqq \mathrm {S} &=\sum _{0}^{n}f(\xi _{i})\,\delta _{i}[p-n]\\&\leqq \sum _{0}^{n}\mathrm {L} _{i}\,\delta _{i}p-\sum _{0}^{n}l_{i}\,\delta _{i}n{\text{.}}\end{aligned}}$

Or, pour les fonctions croissantes $p$ et $n$, l’étude des sommes telles que ${\textstyle \sum \mathrm {L} _{i}\,\delta _{i}p}$ est facile. Soit $\Delta _{1}$, $\Delta _{2}$, … une seconde suite de divisions assujettie aux mêmes conditions que la suite des $\mathrm {D} _{i}$ ; soient $s_{i}$ et $\sigma _{j}$ les nombres ${\textstyle \sum \mathrm {L} _{i}\,\delta _{i}p}$ fournis par $\mathrm {D} _{i}$ et $\Delta _{j}$ ; nous voulons comparer la suite des $s_{i}$ et celle des $\sigma _{j}$.

Si $j$ est pris assez grand, $i$ étant fixe, dans chaque intervalle fourni par $\Delta _{j}$ se trouve au plus un des points de $\mathrm {D} _{i}$ si bien que si ${(x,y)}$ est l’un des intervalles fourni par $\mathrm {D} _{i}$, $x$ sera dans un intervalle ${(r,s)}$ de $\Delta _{j}$ et $y$ dans ${(t,u)}$ ; ${r\leqq x\leqq s\leqq t\leqq y\leqq u}$. Si $x$ (ou $y$) est point de discontinuité de ${\alpha (x)}$, pour $j$ assez grand $r$ et $s$ seront confondus avec $x$ (ou $t$ et $u$ avec $y$) ; de sorte que nous ne supposerons ${s-r}$ (ou ${u-t}$) différent de zéro que si $x$ (ou $y$) est point de continuité de ${\alpha (x)}$. Alors, remplaçons la contribution de ${(r,s)}$ dans $\sigma _{j}$ par ${f(x)\left[p(s)-p(r)\right]}$ ; comme $f(x)$ diffère de la borne supérieure de $f$ dans ${(r,s)}$ d’aussi peu que l’on veut quand $j$ est pris suffisamment grand, — à cause de la petitesse de ${(r,s)}$ et de la continuité de $f$ au point $x$, — on modifiera ainsi $\sigma _{j}$ d’aussi peu que l’on voudra. Faisons cela pour chaque point de division de $\mathrm {D} _{i}$, nous aurons un nombre ${(\sigma _{j})}$ différent de $\sigma _{j}$ de moins de $\varepsilon$. Si, entre $s$ et $t$ les points de $\Delta _{j}$ sont $z_{1}$, $z_{2}$, … nous pouvons dire que la contribution de ${(x,y)}$ dans ${(\sigma _{j})}$ est de la forme

${\begin{aligned}{\left[p(s)-p(x)\right]}f(x)&+\mathrm {L^{1}} \left[p(z_{1})-p(s)\right]\\&+\mathrm {L^{2}} \left[p(z_{2})-p(z_{1})\right]+\ldots +\left[p(y)-p(t)\right]f(y){\text{.}}\end{aligned}}$

Or $f(x)$, $\mathrm {L^{1}}$, $\mathrm {L} ^{2}$, …, $f(y)$ sont au plus égaux à la borne supérieure $\mathrm {L}$ de $f$ dans ${(x,y)}$ ; la somme précédente est donc au plus égale à

$\mathrm {L} \,\left[p(y)-p(x)\right]$.

c’est-à-dire à la contribution de ${(x,y)}$ dans $s_{i}$. Donc on a

$(\sigma _{j})\leqq s_{i}$.