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CHAPITRE XI.

la condition 1^o  fait correspondre

$\mathrm {A} [f_{\mathrm {E} }]=\mathrm {A} [f_{\mathrm {E} _{1}}]-\mathrm {A} [f_{\mathrm {E} _{2}}]$,

donc ${\mathrm {A} [f]}$ est définie pour chaque fonction ${f_{\mathrm {E} }(x)}$ relative à un ensemble $\mathrm {E}$ mesurable B.

Si maintenant $f(x)$ est une fonction mesurable B bornée quelconque, elle ne diffère que de $\varepsilon$ au plus de la fonction

$f^{\varepsilon }(x)={\textstyle \sum }i\varepsilon f_{\mathrm {E} [i\varepsilon \leqq f(x)<(i+1)\varepsilon ]}(x)$ ;

donc la suite des fonctions ${f^{\varepsilon }(x)}$ tend uniformément vers $f(x)$ quand $\varepsilon$ tend vers zéro et l’on déduit de 1^o  et de 2^o , comme nous l’avons fait précédemment, que les nombres ${\mathrm {A} [f^{\varepsilon }(x)]}$ convergent vers une limite, que nous devons prendre pour valeur de ${\mathrm {A} [f(x)]}$.

Ainsi le prolongement à tout le champ des fonctions mesurables B et bornées, s’il est possible, est unique ; or nous avons vu qu’il était possible^[1].

L’extension à ce large champ fonctionnel^[2] est donc bien caractérisé par les conditions 1^o , 2^o  et 3^o .

Nous allons, grâce à la notion d’intégrale de Stieltjès, obtenir une autre extension. À toute intégration définie nous avons attaché une intégration indéfinie fournissant une fonction de points, une fonction d’intervalles, une fonction d’ensemble mesurable ; de sorte que la notion d’intégrale de Stieltjès conduit à une intégrale indéfinie de Stieltjès fonction de point, à une intégrale indéfinie de Stieltjès fonction d’intervalle, à une intégrale indéfinie de Stieltjès fonction d’ensemble. Cette dernière nous permet, d’associer à la fonction $f(x)$ et à un ensemble $\mathrm {E} _{x}$ un nombre déterminé

$\int _{\mathrm {E} _{v}}f[x(v)].{'\!\mathrm {A} (v)}\,\mathrm {d} v=\int _{\mathrm {E} _{x}}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]$.

1. Si nous n’avions pas déjà fait le prolongement, grâce à l’intégrale de Stieltjès, nous devrions ici, ce qui serait facile, vérifier que les valeurs que nous avons attribuées à ${\mathrm {A} [f]}$ sont bien déterminées pour chaque $f$ du nouveau champ fonctionnel et qu’elles vérifient les conditions 1^o , 2^o  et 3^o . C’est au reste ce que nous ferons tout à l’heure.
2. On verra plus loin comment on peut atteindre le champ fonctionnel plus large encore, constitué par les fonctions $f(x)$ qui donnent des fonctions ${f[x(v)]}$ mesurables.