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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.
3o Si des fonctions tendent en croissant vers une limite , on a
.
Nous allons vérifier que les propriétés 1o, 2o, et 3o suffisent à caractériser l’extension que nous avons faite au champ des fonctions mesurables B et bornées d’une fonctionnelle linéaire donnée, définie pour les fonctions continues.
Voyons, en effet, comment à partir des propriétés 1o, 2o et 3o nous pourrions prolonger à un champ plus vaste une fonctionnelle linéaire donnée dans le champ des fonctions continues.
Nous avons vu que, pour croissant indéfiniment les fonctions tendent en décroissant vers la fonction égale à 1 pour et à 0 pour ; donc, d’après 1o et 3o, s’en déduit.
Posons, pour ,
.
De 1o se déduit la valeur .
La suite des fonctions tend en décroissant, quand augmente indéfiniment, vers une limite ; donc la valeur de est déterminée par 1o et 3o.
Nous avons ainsi déterminé la valeur de pour certaines fonctions nulles en dehors d’un ensemble , égales à 1 sur ; nous venons d’arriver aux fonctions pour lesquelles l’ensemble est un intervalle fermé. Or, à partir de tels intervalles on construit tout ensemble mesurable B par la répétition de deux opérations : additions d’ensembles sans points communs, soustraction d’un ensemble d’un autre qui le contient ; à la première de ces opérations
les conditions 1o et 3o font correspondre l’égalité
,
à la deuxième
,