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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.
3o Si des fonctions 
tendent en croissant vers une limite 
, on a
![{\displaystyle \mathrm {A} [f(x)]=\lim _{i\to \infty }{\mathrm {A} [f_{i}(x)]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e92b3c2ad88c046a4cdb76fc50e49ffc836c130c)
.
Nous allons vérifier que les propriétés 1o , 2o , et 3o suffisent à caractériser l’extension que nous avons faite au champ des fonctions mesurables B et bornées d’une fonctionnelle linéaire donnée, définie pour les fonctions continues.
Voyons, en effet, comment à partir des propriétés 1o , 2o et 3o nous pourrions prolonger à un champ plus vaste une fonctionnelle linéaire 
donnée dans le champ des fonctions continues.
Nous avons vu que, pour 
croissant indéfiniment les fonctions 
tendent en décroissant vers la fonction 
égale à 1 pour 
et à 0 pour 
; donc, d’après 1o et 3o , ![{\displaystyle {\mathrm {A} [f_{x\leqq x_{i}}(x)]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e9908c805f2d7192eda581176b1c24750116613)
s’en déduit.
Posons, pour 
,
.
De 1o se déduit la valeur ![{\displaystyle {\mathrm {A} [f_{\alpha <x\leqq \beta }(x)]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dc26b9f756d86cc46ffcd77df4c8ea15bc6d650)
.
La suite des fonctions 
tend en décroissant, quand augmente indéfiniment, vers une limite 
; donc la valeur de ![{\displaystyle {\mathrm {A} [f_{\alpha \leqq x\leqq \beta }(x)]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cb2400142cf2cba49c6b24678310447a0b0cb34)
est déterminée par 1o et 3o .
Nous avons ainsi déterminé la valeur de ![{\displaystyle {\mathrm {A} [f_{\mathrm {E} }(x)]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a5cdc962087ad26e28d817f05805fff1f54d73d)
pour certaines fonctions 
nulles en dehors d’un ensemble 
, égales à 1 sur ; nous venons d’arriver aux fonctions pour lesquelles l’ensemble est un intervalle fermé. Or, à partir de tels intervalles on construit tout ensemble mesurable B par la répétition de deux opérations : additions d’ensembles sans points communs, soustraction d’un ensemble d’un autre qui le contient ; à la première de ces opérations
les conditions 1o et 3o font correspondre l’égalité
![{\displaystyle \mathrm {A} [f_{\mathrm {E} }]=\mathrm {A} [f_{\mathrm {E} _{1}}]+\mathrm {A} [f_{\mathrm {E} _{2}}]+\mathrm {A} [f_{\mathrm {E} _{3}}]+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4133756c7368f03f50152db9e448dc94fce8c7e5)
,
à la deuxième
,
