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CHAPITRE XI.

Or ceci est évident ; si ${\alpha (x)}$ n’était pas à variation bornée, elle aurait une variation positive égale à $+\infty$, on pourrait donc trouver des intervalles ${(a_{1},b_{1})}$, ${(a_{2},b_{2})}$, …, extérieurs les uns aux autres et en nombre fini tels que ${\textstyle \sum [\alpha (b_{i})-\alpha (a_{i})]}$ surpasse ${2\mathrm {M} }$ ; $\mathrm {M}$ étant toujours le nombre qui figure dans la seconde propriété des fonctionnelles linéaires. Dès lors, pour les fonctions continues $\varphi _{i}$, égales à 1 dans les ${(a_{k},b_{k})}$, nulles dans les intervalles ${\left(b_{k}+{\frac {\scriptstyle 1}{i}},a_{k+1}-{\frac {\scriptstyle 1}{i}}\right)}$ et linéaires dans les intervalles ${\left(a_{k}-{\frac {\scriptstyle 1}{i}},a_{k}\right)}$, ${\left(b_{k},b_{k}+{\frac {\scriptstyle 1}{i}}\right)}$, fonctions qui tendent en décroissant vers la fonction $\varphi$ égale à 1 dans les ${(a_{k},b_{k})}$ et à 0 à l’extérieur, les nombres ${\mathrm {A} (\varphi _{i})}$ tendraient vers

$\textstyle \sum [\alpha (b_{i})-\alpha (a_{i})]>2\mathrm {M}$ ;

ce qui est impossible, puisque ${\mathrm {A} (\varphi _{i})}$ ne peut surpasser $\mathrm {M}$.

Ce théorème de M. Riesz attache à chaque fonctionnelle linéaire, définie pour les fonctions $f(x)$ continues dans un intervalle ${(a,b)}$, une fonction déterminante ${\alpha (x)}$ et ce que nous avons vu, relativement à l’extension des intégrales de Stieltjès, montre qu’une telle fonctionnelle peut être prolongée au champ de toutes les fonctions qui, par le passage de la variable $x$ à la variation totale $v$ de ${\alpha (x)}$ dans ${(a,x)}$, se transforment en fonctions sommables de $v$. Cette famille est variable avec ${\alpha (x)}$ mais il importe de noter qu’elle contient toujours toutes les fonctions mesurables B et bornées.

Quand on emploie des fonctionnelles linéaires de fonctions continues $f(x)$, l’une des propriétés les plus utiles est celle-ci : la somme ${\mathrm {A} [f(x)]+\mathrm {B} [f(x)]}$ de deux fonctionnelles linéaires ${\mathrm {A} [f(x)]}$ et ${\mathrm {B} [f(x)]}$ est elle-même une fonctionnelle linéaire.

Quand on veut étendre le champ des fonctions $f(x)$ et cependant conserver l’avantage de cette propriété, c’est donc à un champ fonctionnel indépendant de la fonction déterminante ${\alpha (x)}$ qu’il faut s’arrêter ; aussi est-il très intéressant de savoir que toutes les fonctionnelles linéaires définies dans le champ des fonctions continues peuvent être étendues au champ des fonctions mesurables B et bornées.

Il est clair que la fonctionnelle étendue au champ des fonctions mesurables B et bornées, telle que nous l’avons obtenue, y possède la propriété suivante :