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CHAPITRE XI.

le cas où la série des $f_{i}$ converge uniformément, d’autre part le cas où tous les $f_{i}$, à partir d’une certaine valeur de $i$, sont de même signe.

Supposons, en effet, que la série des $f_{i}$ converge uniformément ; si $f$ est sa limite et $s_{p}$ la somme de ses $p$ premiers termes, on a, pour $p$ suffisamment grand ${|f-s_{p}|<\varepsilon }$, d’où

$|\mathrm {A} (f)-\mathrm {A} (s_{p})|=|\mathrm {A} (f-s_{p})|\leqq \varepsilon \mathrm {M}$.

Le premier cas est ainsi examiné ; or le second se ramène au premier, car si les $f_{i}$ sont toutes positives ou nulles et si la somme $f$ de la série des appartient au champ $\mathrm {C}$, l’ensemble $\mathrm {E} _{p}$ des points où l’on a ${|f-f_{p}|\geqq \varepsilon }$ est un ensemble fermé lorsqu’il existe, et comme $\mathrm {E} _{p}$ contient $\mathrm {E} _{p+1}$, et qu’il n’y a pas de point commun à tous les $\mathrm {E} _{p}$, l’ensemble $\mathrm {E} _{p}$ n’existe plus dès que $p$ est assez grand. Donc la série des $f_{i}$ converge uniformément.

Examinons maintenant le cas où l’on sait seulement que les $f_{i}$ sont positifs ou nuls, et que la série des $f_{i}$ converge vers une fonction bornée $f$^[1]. Alors on a, en remarquant que ${\mathrm {A} (f_{i})}$ et ${\mathrm {A} (-f_{i})}$ sont égaux et de signes contraires, et en posant ${\theta _{i}=\pm 1}$ et du signe de ${\mathrm {A} (f_{i})}$,

${\begin{aligned}\sum _{1}^{p}\left|\mathrm {A} (f_{i})\right|&=\sum _{1}^{p}\theta _{i}\mathrm {A} (f_{i})=\mathrm {A} \!\left[\sum _{1}^{p}\theta _{i}f_{i}\right]\\&\leqq \mathrm {M} \times \operatorname {max.\,de\,} {\left\vert \sum _{1}^{p}\theta _{i}f_{i}\right\vert }\\&\leqq \mathrm {M} \times \operatorname {max.\,de\,} {\sum _{1}^{p}f_{i}}\leqq \mathrm {M} \times \operatorname {max.\,de\,} {f}{\text{.}}\end{aligned}}$

Ainsi, lorsqu’une suite non décroissante ou non croissante de fonctions $s_{p}$ de $\mathrm {C}$ tend vers une limite bornée, la suite $\mathrm {A} (s_{p})$ converge.

Une autre propriété nous sera utile : si $f$ est une fonction de $\mathrm {C}$

1. Dans le champ $\mathrm {C}$ un examen analogue pour le cas de la convergence uniforme serait sans objet ; pour d’autres champs il fournit au contraire un résultat intéressant qui, avec celui qui va être donné dans le texte, peut servir à étudier directement l’extension du champ de définition d’une fonctionnelle, sans faire appel à la notion d’intégrale de Stieltjès.