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CHAPITRE I.

Cette propriété de $\mathrm {E}$ n’est nullement suffisante ; pour énoncer la propriété nécessaire et suffisante que doit vérifier $\mathrm {E}$, il faut avoir recours aux propriétés des ensembles dérivés.

L’ensemble fermé $\mathrm {E}$ a des dérivés successifs $\mathrm {E} '$, $\mathrm {E} ''$, …, $\mathrm {E} ^{\omega }$, … ; on sait que, si l’un des dérivés est nul, $\mathrm {E}$ est dit réductible, c’est un ensemble dénombrable ; sinon l’un des dérivés est parfait, $\mathrm {E}$ et tous ses dérivés ont la puissance du continu^[1].

Ce sont ces propriétés qui vont nous servir. Supposons qu’il existe une fonction $\mathrm {F} (x)$ satisfaisant à l’égalité (1) dans tous les intervalles où $f(x)$ est continue et recherchons si $\mathrm {F} (x)$ est bien déterminée ; lorsqu’il en sera ainsi, l’égalité (1) servira de définition à l’intégrale.

Nous nous appuierons sur cette remarque évidente : si l’intégrale $\int _{\alpha }^{\beta }f(x)\,\mathrm {d} x$, qui figure au premier membre de (1), a un sens dans tous les intervalles qui ne contiennent aucun des points $x_{1}$, $x_{2}$, …, $x_{n}$, en nombre fini, les différentes fonctions continues $\mathrm {F} (x)$ satisfaisant toujours à l’égalité (1) ne peuvent différer que par une constante.

Si $\mathrm {E}$ ne contient qu’un nombre fini de points, $\mathrm {F} (x)$ est donc bien déterminée, d’où la définition de Cauchy.

Le premier membre de (1) a maintenant un sens dans tout intervalle ne contenant pas de points de $\mathrm {E} '$ ; donc, si $\mathrm {E} '$ n’a qu’un nombre fini de points, $\mathrm {F} (x)$ est bien déterminée, d’où la définition de Dirichlet-Lipschitz.

On passe de là au cas où soit $\mathrm {E} ''$, soit $\mathrm {E} '''$, …, soit $\mathrm {E} ^{n}$ ne contient qu’un nombre fini de points.

Dans tout intervalle où $\mathrm {E} ^{\omega }$ n’a pas de points, $\mathrm {F} (x)$ est donc bien déterminée^[2] et, par suite, le premier membre de (1) a un sens dans un tel intervalle ; de là on conclut que $\mathrm {F} (x)$ est bien

d’une part et ensembles non denses dans tout intervalle d’autre part, appelle les premiers systèmes pantachiques ou pantachies et les seconds systèmes apantachiques ou apantachies. C’est aussi Du Bois Reymond qui a donné le procédé général de formation des ensembles fermés et des apantachies, procédé qui consiste à enlever d’un intervalle des intervalles en nombre fini ou dénombrable convenablement choisis. Au sujet des ensembles fermés et des ensembles non denses, voir Borel, Leçons sur la théorie des fonctions, Chap. III.

1. Voir la Note placée à la fin du Volume.
2. Car, dans un tel intervalle, l’un des $\mathrm {E} ^{n}$ n’a qu’un nombre fini de points.