Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/277

261

L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.

plus étendus que celui examiné jusqu’ici, où $f(x)$ était continue. Et par suite nous pouvons prendre la formule

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]=\int _{0}^{\mathrm {V} }f[x(v)].{'\!\mathrm {A} (v)}\,\mathrm {d} v$

comme définition même de l’intégrale de Stieltjès de $f(x)$.

Cette définition s’appliquera, en n’utilisant pour le moment que l’intégration des fonctions sommables, toutes les fois que ${f[x(v)].{'\!\mathrm {A} (v)}}$ sera sommable, donc pour toutes les fonctions ${f[x(v)]}$ qui sont sommables, puisque ${{'\!\mathrm {A} (v)}=\pm 1}$, c’est-à-dire pour toutes les fonctions $f(x)$ qui sont sommables quand on prend pour variable la variation totale $v$ de ${\alpha (x)}$ entre $a$ à $x$, et en particulier pour toutes les fonctions bornées qui sont mesurables par rapport à $v$.

Or, parmi les fonctions $f(x)$ qui sont mesurables par rapport à $v$, il faut citer toutes les fonctions $f(x)$ qui sont mesurables B par rapport à $x$. En effet, la formule ${x=x(v)}$ fait correspondre à tout intervalle en $x$ un intervalle en $v$ ou un point, à une somme d’ensembles en $x$, une somme d’ensembles en $v$, à une différence d’ensembles en $v$ une différence d’ensembles en $v$ plus parfois certaines des valeurs de $v$ correspondant aux intervalles de constance de $x$ ; et comme ces valeurs sont en nombre fini ou dénombrables, à tout ensemble mesurable B en $x$ correspond un ensemble mesurable B en $v$. Si donc $f(x)$ est mesurable B en $x$, c’est-à-dire si l’ensemble ${\mathrm {E} \left[\alpha <f(x)<\beta \right]}$ est mesurable B, l’ensemble ${\mathrm {E} \left[\alpha <f[x(v)]<\beta \right]}$ l’est aussi et ${f[x(v)]}$ est mesurable B en $v$.

Donc la définition précédente s’applique à une classe de fonctions $f(x)$, variable avec la fonction déterminante ${\alpha (x)}$, mais qui contient toujours la famille des fonctions $f(x)$ bornées et mesurables B.

L’inconvénient de la méthode si rapide qui nous a donné ce résultat c’est qu’elle ne met nullement en évidence l’intérêt que peut présenter l’extension de la notion d’intégrale de Stieltjès. Un théorème de M. Frédéric Riesz mettra cet intérêt en évidence^[1].

1. C’est à l’occasion de ce théorème de M. Riesz (C. R. Acad. Sc., 1909 ; voir aussi Annales de l’École Normale supérieure, 1911 et 1914) que j’ai donné