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CHAPITRE XI.

sique du changement de variable^[1]. En somme, nous traitons ici l’intégrale de Stieltjès en remarquant qu’elle se réduit à l’intégrale curviligne ${\int _{a,\alpha (a)}^{b,\alpha (b)}f(x)\,\mathrm {d} \alpha }$, attachée à la courbe ${\alpha =\alpha (x)}$.

La formule précédente s’étend au cas où ${\alpha (x)}$ est seulement supposée absolument continue ; désignons alors par ${'\!\alpha (x)}$ la fonction, déterminée seulement aux points d’un ensemble de mesure nulle près, dont ${\alpha (x)}$ est l’intégrale indéfinie ; fonction qu’on pourrait appeler la presque dérivée de ${\alpha (x)}$. On a

$\mathrm {S} =\sum f(\xi _{i})\left[\alpha (x_{i+1})-\alpha (x_{i})\right]=\sum f(\xi _{i})\int _{x_{i}}^{x_{i+1}}{'\!\alpha (x)}\,\mathrm {d} x$.

Donc

$\mathrm {S} -\int _{a}^{b}f(x).{'\!\alpha (x)}\,\mathrm {d} x=\sum \int _{x_{i}}^{x_{i+1}}\left[f(\xi _{i})-f(x)\right].{'\!\alpha (x)}\,\mathrm {d} x$.

Il en résulte, $\Omega$ désignant le maximum de l’oscillation de $f(x)$ dans les intervalles ${(x_{i},x_{i+1})}$ et $\mathrm {V}$ représentant toujours la variation totale de ${\alpha (x)}$ dans ${(a,b)}$,

$\left\vert \mathrm {S} -\int _{a}^{b}f(x).{'\!\alpha (x)}\,\mathrm {d} x\right\vert \leqq \Omega \sum \int _{x_{i}}^{x_{i+1}}\left|{'\!\alpha (x)}\right|\,\mathrm {d} x=\Omega \mathrm {V}$.

D’où, par passage à la limite,

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} \left[\alpha (x)\right]=\int _{a}^{b}f(x).{'\!\alpha (x)}\,\mathrm {d} x$.

Lorsque la fonction à variation bornée ${\alpha (x)}$ est simplement supposée continue, un changement de variable suffit pour nous ramener au cas précédent ; il est clair en effet que si l’on a un changement de variable ${(t|x)}$ uniforme dans les deux sens faisant correspondre ${(t_{1},t_{2})}$ à ${(a,b)}$, on a toujours

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} \left[\alpha (x)\right]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f[x(t)]\,\mathrm {d} \!\left\{\alpha \!\left[x(t)\right]\right\}$.

1. L’extension aux divers modes d’intégration des procédés classiques permettant le calcul exact ou approché des intégrales de fonctions continues (intégration par parties, par substitution, second théorème de la moyenne, inégalité de Schwarz, etc.) n’a pas trouvé place dans notre exposé. Ce qui suit est en réalité relatif au procédé d’intégration par substitution.