Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/272

256

CHAPITRE XI.

Donc ${\mathrm {C} (x)}$ est discontinue en $x_{0}$, et par suite aussi ${\mathrm {A} (x)}$, si ${f(x_{0})}$ est différent de zéro. En même temps, nous avons prouvé que : Si l’on désigne par ${s_{g}(x)}$ et ${s_{d}(x)}$ les sauts de gauche et de droite de ${\alpha (x)}$ au point $x$, la fonction des sauts de l’intégrale indéfinie de $f(x)$, prise par rapport à ${\alpha (x)}$, est

$\Phi (x)=\sum _{a\leqq x_{i}<x}f(x_{i})s_{d}(x_{i})+\sum _{a<x_{i}\leqq x}f(x_{i})s_{g}(x_{i})$,

les sommations étant étendues à toutes les valeurs indiquées par les inégalités, ou, ce qui est équivalent, à toutes celles de ces valeurs qui sont des points de discontinuité de ${\alpha (x)}$. Toutefois, c’est par une convention nouvelle, complétant la définition de l’intégrale indéfinie, que nous avons fait figurer le point $a$ dans la première sommation.

Par suite aussi, l’intégrale corrigée de sa fonction des sauts, ${\mathrm {F} (x)-\Phi (x)}$, est l’intégrale indéfinie, au sens de Stieltjès, par rapport à la fonction déterminante obtenue en corrigeant ${\alpha (x)}$ de sa fonction des sauts

$\alpha (x)-\sum _{a\leqq x_{i}<x}s_{d}(x_{i})-\sum _{a<x_{i}\leqq x}s_{g}(x_{i})$.

Les intégrales de Stieltjès relatives à des fonctions déterminantes discontinues, se calculent donc facilement à partir de celles résultant des fonctions déterminantes continues. Celles-ci, dans les cas usuels, se calculent de suite.

Supposons, par exemple, ${\alpha (x)}$ continue et croissante, au sens strict, ${\alpha (x_{1})>\alpha (x_{0})}$ pour ${x_{1}>x_{0}}$ ; le changement de variable ${\alpha =\alpha (x)}$ transforme $f(x)$ en une fonction $g(x)$ et la définition de ${\int f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]}$ en celle de l’intégrale ordinaire de ${g(\alpha )}$. Ainsi

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]=\int _{\alpha (a)}^{\alpha (b)}g(\alpha )\,\mathrm {d} \alpha$,

et l’on est ramené à une intégration ordinaire de fonction continue. C’est d’ailleurs la formule précédente qui est l’origine même de la notation de l’intégrale de Stieltjès.

Le cas général où ${\alpha (x)}$ est continue se ramène à celui-ci.