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CHAPITRE XI.
D’où, par addition,
,
étant la variation totale de dans et le maximum de l’oscillation de dans les intervalles de la division . Or tend vers zéro quand augmente indéfiniment, par hypothèse, donc la suite des est convergente.
Le cas particulier des suites , , …, obtenues par subdivisions successives, ainsi examiné, on passe au cas général par le raisonnement qui nous a tant de fois servi.
L’intégrale que nous venons de considérer est l’intégrale définie, elle se note
.
Elle jouit évidemment des propriétés
,
,
.
Pour cette intégrale, le théorème de la moyenne s’énonce ainsi : Si l’on a
,
il en résulte
,
étant la variation totale de dans .
Toutes ces propriétés résultent de suite de l’examen des sommes .
La fonction
est dite la fonction d’une variable intégrale indéfinie, au sens de Stieltjès, de prise par rapport à . Cette définition