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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.

I. — L’intégration de Stieltjès définie à l’aide de la théorie des fonctions sommables.

Soit ${\alpha (x)}$ une fonction à variation bornée dans un intervalle ${(a,b)}$ ; nous l’appellerons la fonction déterminante de l’intégration qui va être définie.

$f(x)$ étant une fonction continue dans ${(a,b)}$, nous appelons intégrale de Stieltjès de $f(x)$, prise dans ${(a,b)}$ par rapport à la fonction déterminante ${\alpha (x)}$, la limite de la somme

$\mathrm {S} =\sum _{0}^{n}f(\xi _{i})[\alpha (x_{i+1})-\alpha (x_{i})]$,

relative à une division de ${(a,b)}$ faite à l’aide de valeurs $x_{i}$ se succédant dans l’ordre : ${x_{0}=a}$, $x_{1}$, $x_{2}$, …, ${x_{n+1}=b}$, quand on fait croître indéfiniment le nombre $n$ et que l’on choisit les $x_{i}$ de façon que le maximum de ${x_{i+1}-x_{i}}$ tende vers zéro. $\xi _{i}$ désigne une valeur quelconque de $x$ prise dans ${(x_{i},x_{i+1})}$.

Pour justifier cette dénomination, il faut, prouver que la limite existe. Considérons une suite de divisions de ${(a,b)}$, soit $\mathrm {D} _{1}$, $\mathrm {D} _{2}$, …, obtenues chacune par subdivision des intervalles de la division précédente, et soient $\mathrm {S} _{1}$, $\mathrm {S} _{2}$, … les valeurs de $\mathrm {S}$ fournies par ces divisions et certains choix des $\xi _{i}$.

Soit ${f(\xi _{i})[\alpha (x_{i+1})-\alpha (x_{i})]}$ la contribution dans $\mathrm {S} _{k}$ d’un des intervalles de $\mathrm {D} _{k}$. Dans $\mathrm {D} _{k+l}$ l’intervalle ${(x_{i},x_{i+1})}$ se trouve divisé par des points $y_{j}$ et fournit une contribution de la forme

$\textstyle \sum _{1}f(\eta _{j})[\alpha (y_{j+1})-\alpha (y_{j})]$,

la sommation étant étendue à certaines valeurs de $j$. Or, avec les mêmes valeurs de $j$, on a

$f(\xi _{i})[\alpha (x_{i+1})-\alpha (x_{i})]=\textstyle \sum _{1}f(\xi _{i})[\alpha (y_{j+1})-\alpha (y_{j})]$.

La différence entre les deux contributions de ${(x_{i},x_{i+1})}$ est donc

${\begin{aligned}\textstyle \sum _{1}[f(\eta _{j})-f(\xi _{i})][\alpha (y_{j+1})-\alpha (y_{j})]&\leqq \omega _{i}\textstyle \sum _{1}|\alpha (y_{j+1})-\alpha (y_{j})|\\&\leqq \omega _{i}\mathrm {V} _{i}{\text{,}}\end{aligned}}$

$\omega _{i}$ désignant l’oscillation de $f(x)$ dans ${(x_{i},x_{i+1})}$ et $\mathrm {V} _{i}$ la variation totale de ${\alpha (x)}$ dans le même intervalle.