CHAPITRE XI.
L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.
En 1894, Stieltjès, à l’occasion de recherches relatives à des développements en fractions continues[1], a défini un nouveau mode d’intégration des fonctions continues. Il importe de bien comprendre l’originalité de la généralisation de Stieltjès et en quoi elle diffère profondément de celles que nous avons examinées jusqu’ici. Au Chapitre I, nous avions rappelé ce qu’on appelle l’intégration dans les cours élémentaires de calcul infinitésimal ; c’est une opération bien déterminée faisant correspondre un nombre à chaque fonction continue . Aux Chapitres II, III, VI, VII, X nous avons défini cette opération pour des familles de fonctions de plus en plus larges ; nous avons étendu la notion d’intégration en profondeur dans la mine des fonctions . Stieltjès, lui, laisse invariable la famille de fonctions considérées ; mais, pour la même fonction , il définit autant d’intégrations que l’on veut ; chacune d’elles fait correspondre un nombre à . Il étend la notion d’intégration en surface dans le champ des opérations fonctionnelles.
Dans ce Chapitre, nous donnerons la définition de l’intégrale de Stieltjès d’une fonction continue , ce qui est l’analogue du Chapitre I, puis nous devrions, comme aux Chapitres II, III, VI, VII, X, étendre cette notion à des classes de fonctions de plus en plus larges, enfin nous aurions à examiner, comme aux Chapitres IV, V, VIII, IX, des notions et des problèmes liés à la nouvelle intégrale. L’exécution de ce programme supposerait effectuées des recherches qui n’ont même pas encore été abordées ; sur bien des points nous nous contenterons de poser des problèmes.
- ↑ Annales de la Fac. des Sc. de Toulouse, 1894.
