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CHAPITRE X.

De la première de ces hypothèses, comme on a ${f(t)=g(t)}$ aux points de $e$, il résulte qu’à toute valeur $t_{0}$ appartenant à $e$ on peut associer deux suites de valeurs de $t$ tendant vers $t_{0}$, l’une par valeurs supérieures à $t_{0}$, l’autre par valeurs inférieures à $t_{0}$ et pour lesquelles ${r[f(t),t_{0},t]}$ a une limite égale à 1. Il suffit en effet de prendre ces suites de valeurs de $t$ appartenant à $e$ ; $r$ tend alors vers la dérivée de $f(t)$, prise sur $e$, laquelle est ${g'(t)=1}$. De la deuxième hypothèse résulte alors :

α. Que si l’on est dans le cas où les quatre nombres dérivés sont égaux, on a ${f'(t)=1}$ ;

β. Que si l’on est dans le cas où ${\Lambda _{g}=+\infty }$, ${\lambda _{d}=-\infty }$, ${\lambda _{g}=\Lambda _{d}={\text{valeur finie}}}$, cette valeur finie est égale à 1 puisque 1 doit être commun aux deux intervalles $(\lambda _{g},\Lambda _{g})$, $(\lambda _{d},\Lambda _{d})$ ;

γ. Que si l’on est dans le cas où ${\lambda _{g}=-\infty }$, ${\Lambda _{d}=+\infty }$, ${\Lambda _{g}=\lambda _{d}={\text{valeur finie}}}$, cette valeur finie est à 1 ;

δ. Enfin on peut avoir ${\Lambda _{d}=\Lambda _{g}=+\infty }$, ${\lambda _{d}=\lambda _{g}=-\infty }$.

Or la formule

${\frac {\Delta \mathrm {F} (x)}{\Delta x}}={\frac {\Delta f(t)}{\Delta t}}{\frac {\Delta t}{\Delta x}}$,

qui lie les accroissements et dans laquelle le dernier rapport tend vers ${t'_{x}=+\infty }$ aux points de l’homologue $\mathrm {E} _{0}$ de $e_{0}$, montre qu’en un point de $\mathrm {E} _{0}$ on a, suivant les cas,

(α)	$\Lambda _{d}=\Lambda _{g}=\lambda _{d}=\lambda _{g}=+\infty$ ;
(β)	$\Lambda _{d}=\Lambda _{g}=\lambda _{g}=+\infty$,$\lambda _{d}=-\infty$ ;
(γ)	$\Lambda _{d}=\Lambda _{g}=\lambda _{d}=+\infty$,$\lambda _{g}=-\infty$ ;
(δ)	$\Lambda _{d}=\Lambda _{g}=+\infty$,$\lambda _{d}=\lambda _{g}=-\infty$.

Le théorème de M. Denjoy est démontré. Il en résulte que si l’on connaît une fonction $f(x)$ finie et si l’on sait qu’elle est en tout point égale à l’un des quatre nombres dérivés d’une fonction continue ${\mathrm {F} (x)}$, à $\Lambda _{d}$ en certains points, à $\lambda _{d}$ en d’autres, etc., la fonction ${\mathrm {F} (x)}$ est déterminée et s’obtient par la totalisation de $f(x)$. En effet, ${\mathrm {F} (x)}$ est une totale indéfinie et la fonction totalisable qui en dérive est presque partout égale à $f(x)$ dans l’ensemble des points où ${f(x)=\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)}$, dans l’ensemble des points où ${f(x)=\lambda _{d}\mathrm {F} (x)}$, etc. Ces ensembles sont inconnus, mais