Sans quoi, en effet, il existerait un ensemble , fermé, de mesure non nulle, aux points duquel serait égale à , et pour les points duquel le rapport serait pourtant toujours inférieur à un nombre fixe . Couvrons alors à partir de , d’une chaîne d’intervalles ainsi choisis : si est un point de , nous lui attachons un intervalle dans lequel on a
étant un nombre positif, très grand, arbitrairement choisi.
Si est un point intérieur à un intervalle contigu à , nous attachons à l’intervalle .
Servons-nous de cette chaîne pour évaluer ; la contribution des intervalles de la première espèce sera inférieure à ; celle des intervalles de la seconde espèce sera inférieure à leur longueur multipliée par , soit moins de . Ceci donne
Or ceci est impossible puisque le second membre est aussi petit que l’on veut ; la proposition est donc démontrée. On a, bien entendu, un énoncé analogue relativement à et à .
Rapprochons les divers résultats obtenus, nous avons le remarquable théorème dû à M. Denjoy :
Sauf tout au plus aux points d’un ensemble de mesure nulle, les quatre nombres dérivés d’une fonction continue[1], présentent l’une des dispositions suivantes :
1o Les quatre nombres dérivés sont égaux, c’est-à-dire qu’il y a une dérivée ordinaire ;
2o |
- ↑ Mme Chisholm Young a étendu ce résultat à toute fonction finie mesurable définie sur un ensemble mesurable (Comptes Rendus, 1916).