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CHAPITRE X.

Sans quoi, en effet, il existerait un ensemble $\mathrm {E}$, fermé, de mesure non nulle, aux points duquel ${\lambda _{g}\mathrm {F} (x)}$ serait égale à $-\infty$, et pour les points $x_{0}$ duquel le rapport ${r[\mathrm {F} (x),x_{0},x_{0}+h]}$ serait pourtant toujours inférieur à un nombre fixe $k$. Couvrons alors ${(a,b)}$ à partir de $b$, d’une chaîne d’intervalles ainsi choisis : si $\eta$ est un point de $\mathrm {E}$, nous lui attachons un intervalle ${(\xi ,\eta )}$ dans lequel on a

$r[\mathrm {F} (x),\xi ,\eta ]<-\mathrm {M}$,

$\mathrm {M}$ étant un nombre positif, très grand, arbitrairement choisi.

Si $\eta$ est un point intérieur à un intervalle ${(\alpha ,\beta )}$ contigu à $\mathrm {E}$, nous attachons à $\eta$ l’intervalle ${(\alpha ,\eta )}$.

Servons-nous de cette chaîne pour évaluer ${\mathrm {F} (b)-\mathrm {F} (a)}$ ; la contribution des intervalles de la première espèce sera inférieure à ${-\mathrm {M} m(\mathrm {E} )}$ ; celle des intervalles de la seconde espèce sera inférieure à leur longueur multipliée par $k$, soit moins de ${k(b-a)}$. Ceci donne

$\mathrm {F} (b)-\mathrm {F} (a)<k(b-a)-\mathrm {M} \,m(\mathrm {E} )$.

Or ceci est impossible puisque le second membre est aussi petit que l’on veut ; la proposition est donc démontrée. On a, bien entendu, un énoncé analogue relativement à $\Lambda _{g}$ et à $\lambda _{d}$.

Rapprochons les divers résultats obtenus, nous avons le remarquable théorème dû à M. Denjoy :

Sauf tout au plus aux points d’un ensemble de mesure nulle, les quatre nombres dérivés d’une fonction continue^[1], ${\mathrm {F} (x)}$ présentent l’une des dispositions suivantes :

1^o  Les quatre nombres dérivés sont égaux, c’est-à-dire qu’il y a une dérivée ordinaire ;

2o

${\begin{aligned}\Lambda _{g}&=+\infty {\text{,}}\\\lambda _{g}&=\Lambda _{d}={\text{valeur finie,}}\\\lambda _{d}&=-\infty \end{aligned}}$

1. M^me Chisholm Young a étendu ce résultat à toute fonction finie mesurable définie sur un ensemble mesurable (Comptes Rendus, 1916).