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CHAPITRE X.

Bien que ce qui précède soit suffisant pour notre conclusion, précisons un peu cet exemple en vue d’autres conclusions^[1]. Plaçons-nous dans les deux hypothèses suivantes : on prendra dans $u_{i}$ une fonction positive ou nulle et de maximum ${\sqrt {\rho _{i}}}$ ; cela nous donnera ${\mathrm {F} _{1}(x)}$ ; on prendra dans $u_{i}$ une fonction de maximum ${\sqrt {\rho _{i}}}$ et de minimum $-{\sqrt {\rho _{i}}}$, cela nous donnera ${\mathrm {F} _{2}(x)}$.

Reprenons le rapport considéré ${r[\mathrm {F} (x),\xi ,x]}$ pour $\xi$ dans $u^{i_{j}}$ et $x$ dans $u_{i_{j}}$. Il est clair que pour certaines valeurs de $j$, la différence ${\xi -x}$ est négative, sans quoi aucun des $u_{i}$ ne serait compris entre l’origine de $u^{i_{1}}$ et $\xi$, ce qui est impossible. Donc on peut affirmer que l’on a

$r[\mathrm {F} (x),\xi ,x]<-{\frac {1}{\sqrt {\rho _{i_{j}}}}}$

pour certaines valeurs de $j$, qu’il s’agisse de ${\mathrm {F} _{1}(x)}$ ou de ${\mathrm {F} _{2}(x)}$ et par suite que l’on a

$\lambda _{g}\mathrm {F} _{1}(\xi )=\lambda _{g}\mathrm {F} _{2}(\xi )=-\infty$.

De même on voit que l’on a

$\Lambda _{g}\mathrm {F} _{2}(\xi )=+\infty$,

puis

$\Lambda _{d}\mathrm {F} _{1}(\xi )=\Lambda _{d}\mathrm {F} _{2}(\xi )=+\infty$,

on a de plus

$\lambda _{d}\mathrm {F} _{2}(\xi )=-\infty$,

$\Lambda _{g}\mathrm {F} _{1}(x)=\lambda _{d}\mathrm {F} _{1}(x)=0$.

Supposons de plus que, dans chaque $u_{i}$, ${\mathrm {F} (x)}$ soit choisie de façon que, dans $u_{i}$, aux voisinages des extrémités de $u_{i}$, la courbe ${\mathrm {Y} =\mathrm {F} (x)}$ soit semblable à celle qui représente au voisinage de ${x=0}$ la fonction qui, dans ${\left[{\frac {1}{(k+1)\pi }},{\frac {1}{k\pi }}\right]}$ est égale à ${{\frac {1}{k}}\left(\sin {\frac {1}{x}}\right)^{2k}}$ s’il s’agit de ${\mathrm {F} _{1}(x)}$, à ${{\frac {1}{k}}\left(\sin {\frac {1}{x}}\right)^{k}}$ s’il s’agit de ${\mathrm {F} _{2}(x)}$. Alors les égalités précédentes déterminent les valeurs des quatre nombres dérivés de ${\mathrm {F} (x)}$ non seulement aux points $\xi$, mais en tout point de $\mathrm {P}$. De plus, si $\mathrm {P}$ est parfait et si en tout point de $\mathrm {P}$, qui est un point $\xi$, la densité de $\mathrm {P}$ est égale à 1, ${\mathrm {F} (x)}$ a une dérivée approximative égale à zéro en tout point de $\mathrm {P}$.

1. Cet exemple, sous ses diverses formes, est, à de petites modifications prés, extrait des Mémoires de M. Denjoy.