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CHAPITRE X.
Bien que ce qui précède soit suffisant pour notre conclusion, précisons un peu cet exemple en vue d’autres conclusions[1]. Plaçons-nous dans les deux hypothèses suivantes : on prendra dans une fonction positive ou nulle et de maximum ; cela nous donnera ; on prendra dans une fonction de maximum et de minimum , cela nous donnera .
Reprenons le rapport considéré pour dans et dans . Il est clair que pour certaines valeurs de , la différence
est négative, sans quoi aucun des ne serait compris entre l’origine de et , ce qui est impossible. Donc on peut affirmer que l’on a
pour certaines valeurs de , qu’il s’agisse de ou de et par suite que l’on a
.
De même on voit que l’on a
,
puis
,
on a de plus
,
.
Supposons de plus que, dans chaque , soit choisie de façon que, dans , aux voisinages des extrémités de , la courbe soit semblable à celle qui représente au voisinage de la fonction qui, dans est égale à s’il s’agit de , à s’il s’agit de . Alors les égalités précédentes déterminent les valeurs des quatre nombres dérivés de non seulement aux points , mais en tout point de . De plus, si est parfait et si en tout point de , qui est un point , la densité de est égale à 1, a une dérivée approximative égale à zéro en tout point de .
- ↑ Cet exemple, sous ses diverses formes, est, à de petites modifications prés, extrait des Mémoires de M. Denjoy.