et comme il en est de même si l’on envisage seulement la partie de située dans un intervalle contenant des points de , la fonction n’est pas résoluble ; car l’accroissement de n’est, en effet, défini sur aucune partie de l’ensemble , parfait et de mesure nulle, formé des points communs à la fois à tous les .
c. Lorsqu’on n’est dans aucun des cas précédemment examinés, c’est qu’il existe un intervalle contenant des points de et dans lequel est à variation bornée. En supprimant les points de extérieurs à cet intervalle, nous pouvons supposer que est à variation bornée dans et y admet pour ensemble de points de non absolue continuité. Nous savons que, si l’on décompose en son noyau absolument continu et les variations positive et négative de sa fonction des singularités d’après la formule
l’un au moins des deux nombres , est différent de zéro ; admettons que soit positif.
On peut trouver un ensemble formé d’un nombre fini d’intervalles, dont les points origines et extrémités sont des points en lesquels est croissante respectivement à droite et à gauche, et par suite sont des points de . On peut supposer de plus que la mesure de est inférieure à , et qu’on a les deux inégalités
Dans on peut trouver un ensemble de mesure inférieure à , formé d’un nombre fini d’intervalles dont les extrémités et origines satisfont aux mêmes conditions que plus haut, la famille de ces extrémités et origines pour comprenant celle relative à , et de façon que, pour tout intervalle de , la partie de qui lui est contenue satisfasse aux inégalités
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}_{\mathrm {P} _{s}(x)}(i_{k+1})&>[\mathrm {P} _{s}(\mu )-\mathrm {P} _{s}(\lambda )]\,(1-\varepsilon _{k+1}){\text{,}}\\{\mathcal {A}}_{\mathrm {N} _{s}(x)}(i_{k+1})&<[\mathrm {P} _{s}(\mu )-\mathrm {P} _{s}(\lambda )]\,\varepsilon _{k+1}{\text{ ;}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9357b4cda2a084145aa788dd99995fd4b8b4ba35)
