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L’INTÉGRALE AVANT RIEMANN.

valeur singulière ${x=0}$, sont les fonctions (considérées par Cauchy) ${\mathrm {K} +{\sqrt {x^{2}}}}$ ; si l’on considère ces fonctions comme des intégrales indéfinies, on en déduit, par la formule (1), la valeur de l’intégrale définie de $f(x)$ dans tout intervalle^[1].

Cauchy énonce d’une manière très précise la définition dont on vient de voir deux applications. Pour lui, si une fonction $f(x)$ est continue dans un intervalle ${(a,b)}$, sauf en un point $c$, au voisinage duquel $f(x)$ est bornée ou non^[2], on peut définir l’intégrale de $f(x)$ dans ${(a,b)}$ si les deux intégrales

$\int _{a}^{c-h}f(x)\,\mathrm {d} x$et$\int _{c+h}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$

tendent vers des limites déterminées quand $h$ positif tend vers zéro ; alors on a par définition

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{h=0}\left[\int _{a}^{c-h}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{c+h}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\right]$^[3].

Si dans ${(a,b)}$ il existe plusieurs points de discontinuité, on partage ${(a,b)}$ en assez d’intervalles partiels pour que, dans chacun d’eux, il n’existe plus qu’un seul point singulier ; on applique à chaque intervalle la définition précédente, si cela est possible ; on fait ensuite la somme des nombres ainsi obtenus.

C’est à ces définitions que se rattachent les critères connus relatifs à l’existence des intégrales des fonctions infinies autour d’un point.

1. Il est bon d’ajouter que les intégrales définies, que l’on peut ainsi attacher aux deux espèces de fonctions discontinues que l’on vient de considérer, permettent d’exprimer les coefficients du développement trigonométrique des fonctions à l’aide des formules d’Euler et de Fourier qui servent dans le cas des fonctions continues.
2. Cauchy ne se préoccupe pas de la valeur de la fonction pour ${x=c}$. D’ailleurs, pour lui, si $f(x)$ tend vers une valeur déterminée quand $x$ tend vers $c$, cette valeur limite est $f(c)$ ; si $f(x)$ ne tend pas vers une limite unique, $f(c)$ est l’une quelconque des valeurs comprises entre la plus petite et la plus grande des limites de $f(x)$. Dans quelques Mémoires, P. Du Bois Reymond a repris ces conventions.
3. Cauchy s’occupe aussi du cas où le second membre de cette égalité aurait un sens, sans que les deux intégrales qui y figurent aient des limites. Dans ce cas, il appelle ce second membre la valeur principale de l’intégrale $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$.