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tions A, font alors connaître ${\mathrm {F} (x)}$ dans tout intervalle contigu à $\mathrm {E} _{\alpha }$. L’ensemble de ces opérations constitue l’opération $\mathrm {O} _{\alpha }$ de la totalisation.

Si $\alpha$ est de seconde espèce, l’ensemble $\mathrm {H}$ est formé des points communs à tous les ensembles $\mathrm {E} _{i}$ d’indice inférieur à $\alpha$. Cet ensemble $\mathrm {H}$ est alors désigné par $\mathrm {E} _{\alpha }$, et l’opération $\mathrm {O} _{\alpha }$ se réduit aux opérations A nécessaires pour construire ${\mathrm {F} (x)}$ dans les intervalles contigus à $\mathrm {E} _{\alpha }$, à partir des fonctions ${\mathrm {F} (x)}$ connues dans les intervalles contigus aux $\mathrm {E} _{i}$ d’indice inférieur à $\mathrm {E} _{\alpha }$.

Les ensembles $\mathrm {E} _{1}$, $\mathrm {E} _{2}$, …, étant fermés, et chacun d’eux contenant tous ceux qui le suivent, nous savons qu’ils sont en nombre fini ou dénombrable, donc la totalisation détermine bien ${\mathrm {F} (x)}$ dans tout ${(a,b)}$ après un nombre fini ou une infinité dénombrable d’opérations $\mathrm {O} _{i}$.

Ainsi, les conditions énoncées sont bien suffisantes pour que les opérations de la totalisation soient possibles, mais il n’est pas aussi évident qu’elles soient nécessaires. La première condition est certes nécessaire puisqu’elle est indispensable pour la continuité de ${\mathrm {F} (x)}$ en $l$ et en $m$ ; mais il suffit que la seconde condition soit remplie quand on prend pour ${\mathcal {E}}$ les ensembles $\mathrm {E} _{\alpha }$ auxquels conduisent les opérations mêmes de la totalisation, et les parties des $\mathrm {E} _{\alpha }$ situées dans les divers intervalles ${(l,m)}$ contenus dans ${(a,b)}$, pour que les opérations de la totalisation soient légitimées. Or, on va voir que, dès que la seconde condition est remplie pour ces ensembles spéciaux, c’est-à-dire dès que la totalisation est possible, la seconde condition est remplie pour tout ensemble fermé ${\mathcal {E}}_{0}$.

Soit $\mathrm {O_{N}}$ la dernière opération de la totalisation. Il n’existe donc pas d’ensemble $\mathrm {E_{N}}$, tandis que tous les $\mathrm {E} _{i}$ d’indice inférieur à $\mathrm {N}$ existent effectivement^[1].

Soit $\alpha$ le plus petit indice tel que ${\mathcal {E}}_{0}$ ne soit pas tout entier dans $\mathrm {E} _{\alpha }$. Le nombre $\alpha$ existe et est inférieur à $\mathrm {N}$ ; de plus, $\alpha$ n’est pas de deuxième espèce, puisque sans cela $\mathrm {E} _{\alpha }$ contiendrait tous les points qui appartiennent aux $\mathrm {E}$ d’indice inférieur à $\alpha$, donc contiendrait ${\mathcal {E}}_{0}$. Il y a donc un ensemble $\mathrm {E} _{\alpha -1}$, lequel contenait ${\mathcal {E}}_{0}$.

1. L’indice $\mathrm {N}$ de cette dernière opération n’est donc jamais un nombre transfini de seconde espèce.