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CHAPITRE X.

convergente et que $f(x)$ est sommable sur $\mathrm {E}$. Alors on forme la quantité

$\int _{\mathrm {E} }f\,\mathrm {d} x+{\textstyle \sum \left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]}$,

que l’on prend, pour totale définie de $f(x)$ dans ${(l,m)}$.

Les conditions pour que $f(x)$ soit totalisable, sont les suivantes :

1^o L’opération A doit conduire à une fonction ${\mathrm {F} (x)}$ continue en $l$ et en $m$ ;

2^o Quel que soit l’ensemble fermé ${\mathcal {E}}$, il doit exister un intervalle ${(l,m)}$ enfermant des points de ${\mathcal {E}}$ et tel que, sur la partie $\mathrm {E}$ de ${\mathcal {E}}$ située dans ${(l,m)}$, $f(x)$ soit sommable et que la série ${\textstyle \sum [\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )]}$, étendue aux intervalles contigus à $\mathrm {E}$, soit convergente^[1].

Ces conditions étant remplies ; en prenant pour ${\mathcal {E}}$ l’intervalle ${(a,b)}$ lui-même, on voit que les points de ${(a,b)}$ en lesquels $f(x)$ n’est pas sommable, forment un ensemble $\mathrm {E} _{1}$, partout non dense dans ${(a,b)}$. Des opérations B, suivies d’opérations A, font connaître ${\mathrm {F} (x)}$ dans tout intervalle contigu à $\mathrm {E} _{1}$ ; cet ensemble d’opérations constitue la première opération $\mathrm {O} _{1}$ de la totalisation.

Si $\alpha$ est un nombre fini ou un nombre transfini et si les opérations d’indice inférieur à $\alpha$ n’ont pas fait connaître ${\mathrm {F} (x)}$ dans tout ${(a,b)}$, elles ont fait connaître ${\mathrm {F} (x)}$ dans tout intervalle ne contenant aucun point d’un certain ensemble fermé $\mathrm {H}$. Si $\alpha$ n’est pas de seconde espèce, cet ensemble fermé $\mathrm {H}$ s’appelle $\mathrm {E} _{\alpha -1}$, il a été fourni par l’opération $\mathrm {O} _{\alpha -1}$ qui a fait connaître ${\mathrm {F} (x)}$ dans tout intervalle contigu à $\mathrm {E} _{\alpha -1}$. Alors, en prenant $\mathrm {E} _{\alpha -1}$ pour ensemble ${\mathcal {E}}$, il résulte de la seconde condition remplie par $f(x)$ que les points de $\mathrm {E} _{\alpha -1}$, qui ne sont pas intérieurs à des intervalles dans lesquels on puisse effectuer l’opération B, forment un ensemble fermé $\mathrm {E} _{\alpha }$ partout non dense sur $\mathrm {E} _{\alpha -1}$. Des opérations B, suivies d’opéra-

1. On pourrait rattacher à cet énoncé des propriétés comme celle-ci : la somme de plusieurs fonctions totalisables est totalisable ; la totale est la somme des totales.