que l’on prend, pour totale définie de dans .
Les conditions pour que soit totalisable, sont les suivantes :
1o L’opération A doit conduire à une fonction continue en et en ;
2o Quel que soit l’ensemble fermé , il doit exister un intervalle enfermant des points de et tel que, sur la partie de située dans , soit sommable et que la série , étendue aux intervalles contigus à , soit convergente[1].
Ces conditions étant remplies ; en prenant pour l’intervalle lui-même, on voit que les points de en lesquels n’est pas sommable, forment un ensemble , partout non dense dans . Des opérations B, suivies d’opérations A, font connaître dans tout intervalle contigu à ; cet ensemble d’opérations constitue la première opération de la totalisation.
Si est un nombre fini ou un nombre transfini et si les opérations d’indice inférieur à n’ont pas fait connaître dans tout , elles ont fait connaître dans tout intervalle ne contenant aucun point d’un certain ensemble fermé . Si n’est pas de seconde espèce, cet ensemble fermé s’appelle , il a été fourni par l’opération qui a fait connaître dans tout intervalle contigu à . Alors, en prenant pour ensemble , il résulte de la seconde condition remplie par que les points de , qui ne sont pas intérieurs à des intervalles dans lesquels on puisse effectuer l’opération B, forment un ensemble fermé partout non dense sur . Des opérations B, suivies d’opéra-
- ↑ On pourrait rattacher à cet énoncé des propriétés comme celle-ci : la somme de plusieurs fonctions totalisables est totalisable ; la totale est la somme des totales.