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CHAPITRE X.

De là on déduit encore que toutes les fois que les conditions a. et b. sont remplies, c. en résulte. La seule différence, c’est que l’intervalle $\lambda$ contenant des points de $\mathrm {H}$ , ne sera défini par la condition que ${r[\mathrm {F} (x),x_{0},x_{0}+h]}$ soit borné pour $x_{0}$ point de $i$ et de $\mathrm {H}$ , que si $\mathrm {H}$ est parfait ; si $\mathrm {H}$ n’est pas parfait, on prendra pour $\lambda$ un intervalle contenant à son intérieur un seul point de $\mathrm {H}$ .

Ainsi la totalisation permet encore le calcul de ${\mathrm {F} (x)}$ quand on ne connaît la valeur finie de l’un de ses nombres dérivés qu’exception faite des points d’un ensemble dénombrable.

Il y a à faire une distinction entre les résultats de ce paragraphe et du précédent. L’opération fondamentale de la totalisation consiste, un ensemble fermé $\mathrm {E}$ étant donné, et la fonction $\mathrm {F}$ à obtenir étant déjà connue à une constante additive près dans les intervalles contigus à $\mathrm {E}$ , à déterminer un intervalle $i$ contenant des points de $\mathrm {E}$ et pour lequel ${\int _{i,\mathrm {E} }f(x)\,\mathrm {d} x}$ , ${\sum _{i}^{\mathrm {E} }\left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]}$ existent. Mais pour le cas où $f$ est une dérivée nous avons pu astreindre $i$ à être de plus tel que $f$ soit bornée sur la partie $\mathrm {E} _{i}$ de $\mathrm {E}$ située dans $i$ et, si $f$ est un nombre dérivé supérieur, nous avons pu astreindre $i$ à être de plus tel que $f$ soit bornée supérieurement sur $\mathrm {E} _{i}$ . Ainsi il y a des modes de totalisations spéciales à côté de la totalisation générale, c’est-à-dire celle dans laquelle on ne requiert que la sommabilité de $f$ sur $\mathrm {E} _{i}$ et que la convergence — donc la convergence absolue — de ${\sum _{i}^{\mathrm {E} }\left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]}$ . C’est celle-ci que nous allons étudier.

IV. — La totalisation.

Reprenons d’abord, afin de bien préciser, la définition de la suite finie ou transfinie d’opérations qui constitue la totalisation. Cette suite d’opérations est effectuée à partir d’une fonction donnée $f(x)$ , supposée partout finie^[1] dans ${(a,b)}$ , $f(x)$ est la fonction à totaliser ; si les opérations qui vont être indiquées sont

↑ Tout à l’heure nous avons négligé les points où $\Lambda f$ était infini, donc pris ${\Lambda f(x)=0}$ en ces points.

[1] Tout à l’heure nous avons négligé les points où $\Lambda f$ était infini, donc pris ${\Lambda f(x)=0}$ en ces points.

[1]