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CHAPITRE X.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

En effet, s’il n’en était pas ainsi, les points de $i$ qui ne seraient pas intérieurs à des intervalles $j$ dans lesquels on aurait

${\mathcal {A}}_{\mathrm {F} (x)}(j)=\int _{j,\mathrm {E} }\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)\,\mathrm {d} x+\sum _{j}^{\mathrm {E} }[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )]$,

formeraient un ensemble fermé $\mathrm {H}$. Un intervalle contigu à $\mathrm {H}$ est la somme d’une infinité dénombrable d’intervalles $j$ sans points intérieurs communs. Pour chacun de ces intervalles $j$ on a l’égalité précédente. La somme de toutes ces égalités peut être effectuée puisque, par hypothèse, ${\int _{i,\mathrm {E} }|\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)|\,\mathrm {d} x}$ et ${\sum _{i}^{\mathrm {E} }|\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )|}$ existent. Et ceci prouve que tout intervalle contigu à $\mathrm {H}$ est lui-même un intervalle $j$.

Or, des théorèmes de ce paragraphe, il résulte que l’on peut trouver un intervalle $\lambda$ contenant à son intérieur des points de $\mathrm {H}$ et pour lequel ${r[\mathrm {F} (x),x_{0},x_{0}+h]}$ est borné quand $x_{0}$ est point de $\mathrm {H}$, de sorte que l’on a

${\begin{aligned}{\mathcal {A}}_{\mathrm {F} (x)}(\lambda )&=\int _{\lambda ,\mathrm {H} }\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)\,\mathrm {d} x+\sum _{\lambda }^{\mathrm {H} }\left[\mathrm {F} (m_{r})-\mathrm {F} (l_{r})\right]\\&=\int _{\lambda ,\mathrm {H} }\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)\,\mathrm {d} x+\sum _{\lambda }{\mathcal {A}}_{\mathrm {F} (x)}(\delta _{r}){\text{.}}\end{aligned}}$

${\delta _{r}=(l_{r},m_{r})}$ désignant les intervalles contigus à $\mathrm {H}$ et situés dans $\lambda$. Chaque $\delta _{r}$ étant un intervalle $j$, on a

${\mathcal {A}}_{\mathrm {F} (x)}(\delta _{r})=\int _{\delta _{r},\mathrm {E} }\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)\,\mathrm {d} x+\sum _{\delta _{r}}^{\mathrm {E} }\left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]$.

D’où résulte

${\mathcal {A}}_{\mathrm {F} (x)}(\lambda )=\int _{\lambda ,\mathrm {E} }\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)\,\mathrm {d} x+\sum _{\lambda }^{\mathrm {E} }\left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]$ ;

ainsi $\lambda$ serait un intervalle $j$, ce qui est contraire à la définition de $\mathrm {H}$.

Il est clair que nos deux nouveaux énoncés sont entièrement analogues à ceux sur lesquels nous avons basé la construction d’une fonction à partir de sa dérivée. On peut donc, de même, obtenir la fonction primitive d’un nombre dérivé borné par récurrence transfinie.