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CHAPITRE I.

contrent dans un grand nombre de questions d’Analyse, de Géométrie et de Mécanique^[1]. Pour le calcul de certaines de ces limites de sommes, par exemple pour la définition et le calcul de l’aire comprise entre une courbe et son asymptote, l’intégration des fonctions continues ne suffisait plus ; on a été ainsi conduit à s’occuper de l’intégration des fonctions qui sont infinies en certains points ou au voisinage de certains points. D’autre part, pour certaines applications des intégrales définies, par exemple pour le calcul des coefficients de la série trigonométrique représentant une fonction donnée, il semblait y avoir avantage à définir l’intégrale d’une fonction qui, tout en restant finie, est discontinue en certains points. Aussi, dès l’introduction de la notion d’intégrale définie, a-t-on étendu cette notion à certaines fonctions discontinues.

On a été conduit à la définition qui sera donnée plus loin en posant en principe l’identité, constatée dans le cas des fonctions continues, de l’intégrale indéfinie et de la fonction primitive. Considérons la fonction $f(x)$ qui, pour ${x\neq 0}$, est égale à ${\frac {1}{\sqrt[{3}]{x}}}$. Les seules fonctions continues qui admettent, sauf pour ${x=0}$, une dérivée égale à $f(x)$ sont données par la formule ${\mathrm {K} +{\frac {3}{2}}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}$ ; on a dit que ${\mathrm {F} (x)=\mathrm {K} +{\frac {3}{2}}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}$ était l’intégrale indéfinie de $f(x)$, et convenu que la formule (1) donnerait l’intégrale définie de $f(x)$ dans un intervalle quelconque ${(\alpha ,\beta )}$.

Soit encore la fonction $f(x)$ (considérée par Fourier) égale à −1 pour $x$ négatif, à +1 pour $x$ positif^[2]. Les seules fonctions continues qui admettent $f(x)$ pour dérivée, sauf pour la

1. L’application la plus simple de la notion d’intégrale est la quadrature des domaines plans. À cause de cette application, on a fait souvent remonter la notion d’intégrale définie à Archimède et à la quadrature de la parabole. Il est vrai que beaucoup de quadratures ont été effectuées avant l’introduction du Calcul intégral, mais les géomètres n’attachaient en général aucune importance particulière aux domaines bien spéciaux dont il faut calculer les aires pour avoir des intégrales définies. L’importance de ces domaines n’est nettement apparue qu’après l’introduction de la notion de dérivée.
2. Cette fonction, non définie pour ${x=0}$, admet, comme on sait, un développement trigonométrique ; on peut aussi la noter ${\frac {+{\sqrt {x^{2}}}}{x}}$.