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LA TOTALISATION.

Définissons comme il a été fait au Chapitre IX, pages 176 et suivantes, des ensembles $\mathrm {E} _{l}$ et $\mathrm {A} _{l}$ par la considération de nombres $\varepsilon$, $\eta$, $\zeta$. Mais en constituant cette fois les $\mathrm {E} _{l}$ à l’aide des seuls points de $\mathrm {E}$. Les intervalles de la chaîne ayant pour origines des points de $\mathrm {E}$ sont choisis satisfaisant aux trois conditions indiquées au Chapitre IX. L’intervalle ayant pour origine un point $x_{0}$ d’un intervalle ${(\alpha ,\beta )}$ contigu à $\mathrm {E}$ est l’intervalle ${(x_{0},\beta )}$.

Les intervalles de la première espèce ont, dans l’expression de ${\mathrm {F} (b)-\mathrm {F} (a)}$, une contribution qui, lorsque, $\varepsilon$, $\eta$, $\zeta$ tendent vers zéro, tend vers ${\textstyle \int _{\mathrm {E} }\Lambda _{d}\mathrm {F} \,\mathrm {d} x}$.

Un intervalle ${(x_{0},\beta )}$ de la seconde espèce fournit comme contribution

$\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (x_{0})=\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )-\left[\mathrm {F} (x_{0})-\mathrm {F} (\alpha )\right]$ ;

${\mathrm {F} (x_{0})-\mathrm {F} (\alpha )}$ est au plus égal à ${k(x_{0}-\alpha )}$, donc la somme des termes ${\mathrm {F} (x_{0})-\mathrm {F} (\alpha )}$ est au plus $k\eta$ (voir, au Chapitre IX, la signification de $\eta$) et par suite a des limites nulles ou négatives quand $\varepsilon$, $\eta$, $\zeta$ tendent vers zéro.

Par suite on a

$\mathrm {F} (b)-\mathrm {F} (a)\geqq \int _{\mathrm {E} }\Lambda _{d}\mathrm {F} \,\mathrm {d} x+{\textstyle \sum \left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]}$.

On a donc bien, conformément à l’énoncé,

$\mathrm {F} (b)-\mathrm {F} (a)=\int _{\mathrm {E} }\Lambda _{d}\mathrm {F} \,\mathrm {d} x+{\textstyle \sum \left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]}$.

De ces deux théorèmes il résulte en particulier que : si $\mathrm {E}$ est un ensemble fermé aux points duquel ${\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)}$ est fini, il existe un intervalle $i$, contenant des points de $\mathrm {E}$ à son intérieur, dans lequel ${\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)}$ est sommable sur $\mathrm {E}$ et pour lequel la série ${\textstyle \sum [\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )]}$ des accroissements de $\mathrm {F}$ dans les intervalles contigus à $\mathrm {E}$ est absolument convergente.

Montrons, sans supposer cette fois ${\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)}$ bornée supérieurement dans $i$, que l’accroissement de $\mathrm {F}$ dans $i$ est la somme de l’intégrale de ${\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)}$ sur la partie de $\mathrm {E}$ située dans $i$ et de la série ${\textstyle \sum [\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )]}$ relative à $\mathrm {E}$ et $i$, ce que nous noterons

${\mathcal {A}}_{\mathrm {F} (x)}(i)=\int _{i,\mathrm {E} }\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)\,\mathrm {d} x+\sum _{i}^{\mathrm {E} }\left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]$.