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LA TOTALISATION.

voit qu’il existe un intervalle $\mathrm {I}$ dans lequel $\mathrm {E}$ est identique à l’un, $\mathrm {E} _{m}$, des $\mathrm {E} _{n}$ ; alors, pour tout point appartenant à la fois à $\mathrm {E}$ et à $\mathrm {I}$, on a

$r[\mathrm {F} (x),\alpha ,\beta ]\leqq \mathrm {M}$,

quel que soit ${\beta >\alpha }$ ; ce qui démontre le théorème.

Nous utiliserons aussi la propriété suivante^[1] :

Si le rapport ${r[\mathrm {F} (x),x_{0},x_{0}+h]}$ relatif à une fonction continue ${\mathrm {F} (x)}$ est borné supérieurement uniformément pour tous les points $x_{0}$ appartenant à un ensemble fermé $\mathrm {E}$, ${h>0}$,

la série ${\textstyle \sum [\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )]}$, étendue aux intervalles contigus à $\mathrm {E}$ est alors convergente,

le nombre dérivé supérieur à droite ${\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)}$ n’est, sur $\mathrm {E}$, égal à $-\infty$ qu’aux points d’un ensemble de mesure nulle, $\mathrm {E} ^{in}$.

${\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)}$ a, dans l’ensemble ${\mathrm {E} -\mathrm {E} ^{in}}$, une intégrale déterminée, finie, et l’on a

$\mathrm {F} (b)-\mathrm {F} (a)\leqq \int _{\mathrm {E} -\mathrm {E} ^{in}}\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)\,\mathrm {d} x+{\textstyle \sum [\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )]}$.

Lorsque $\mathrm {E} ^{in}$ n’existe pas, c’est le signe égal qui convient.

Désignons par $\mathrm {E} _{l}$ l’ensemble des points de $\mathrm {E}$ en lesquels on a

$l\varepsilon \leqq \Lambda _{d}\mathrm {F} (x)<(l+1)\varepsilon$,

$\varepsilon$ étant arbitrairement choisi positif.

Soit ${\mathrm {G} (x)}$ la fonction continue égale à ${\mathrm {F} (x)}$ aux points de $\mathrm {E}$ et linéaire dans les intervalles contigus à $\mathrm {E}$. Pour $x_{0}$ à l’origine ou à l’intérieur d’un tel intervalle ${(\alpha ,\beta )}$, on a

$\Lambda _{d}\mathrm {G} (x)=r[\mathrm {F} (x),\alpha ,\beta ]<k$,

si $k$ est la limite supérieure dont parle l’énoncé. Aux points de $\mathrm {E}$, qui ne sont pas origines d’intervalles contigus à $\mathrm {E}$, on a d’ailleurs

$\Lambda _{d}\mathrm {G} (x)\leqq \Lambda _{d}\mathrm {F} (x)\leqq k$.

${\Lambda _{d}\mathrm {G} (x)}$ étant borné supérieurement dans tout ${(a,b)}$, ${\mathrm {G} (x)}$ est à variation bornée et l’on a, en désignant ${(a,b)}$ par $\mathrm {H} _{0}$, et l’ensemble

1. Cette propriété remplacera ici le second théorème fondamental (métrique) relatif aux nombres dérivés, de M. Denjoy.