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CHAPITRE X.

On pourra prendre par exemple,

$\varphi (x)=x^{2}(1-x)^{2}\sin {\frac {1}{x^{2}(1-x)^{2}}}$ ;

l’ensemble des racines de ${\varphi '(x)=0}$ forme alors un ensemble dont le dérivé se réduit à 0 et 1. Mais on pourrait aussi choisir ${\varphi (x)}$ de manière que, parmi les racines ${\varphi '(x)=0}$, se trouvent tous les points d’un ensemble parfait ou fermé quelconque.

Soit $\lambda$ un nombre fini ou transfini quelconque, nous allons définir des fonctions ${\mathrm {F} _{1}(x)}$, ${\mathrm {F} _{2}(x)}$, …, ${\mathrm {F} _{\lambda }(x)}$ dont la détermination à partir de leurs dérivées exigeraient respectivement les opérations $\mathrm {O} _{1}$ ; $\mathrm {O} _{1}$ et $\mathrm {O} _{2}$ ; $\mathrm {O} _{1}$, $\mathrm {O} _{2}$ et $\mathrm {O} _{3}$ ; … ; $\mathrm {O} _{1}$, $\mathrm {O} _{2}$, …, $\mathrm {O} _{\lambda }$. Et cela qu’il s’agisse de l’un ou de l’autre de nos deux procédés transfinis.

Rangeons pour cela en une suite $\mathrm {S}$ simplement infinie les nombres finis et transfinis jusqu’à $\lambda$, soit $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$, …. Si $\beta$ est un nombre transfini de seconde espèce, au plus égal à $\lambda$, nous appellerons suite déterminant $\beta$ celle obtenue en barrant dans $\mathrm {S}$ d’abord tout nombre égal ou supérieur à $\beta$, puis tout nombre qui, dans la suite ainsi obtenue, est précédé par un nombre plus grand que lui.

Désignons par $\mathrm {E}$ un ensemble fermé partout non dense, choisi une fois pour toutes dans (0, 1). ${\mathrm {F} _{1}(x)}$ sera la fonction ${\varphi (x)}$.

${\mathrm {F} _{\alpha }(x)}$ sera, pour un indice $\alpha$ fini, ou transfini de première espèce, la fonction nulle sur $\mathrm {E}$ et égale à ${(m-l)\,\mathrm {F} _{\alpha -1}\!\left({\frac {x-l}{m-l}}\right)}$ dans l’intervalle ${(l,m)}$ contigu à $\mathrm {E}$. ${\mathrm {F} _{\beta }(x)}$ sera, pour $\beta$ transfini de seconde espèce et déterminé par la suite $\beta _{1}$, $\beta _{2}$, …, la fonction égale à

${\frac {1}{2^{p}}}\,\mathrm {F} _{\beta _{p}}\!\!\left[2^{p}\left(x-{\frac {1}{2^{p}}}\right)\right]$

pour

${\frac {1}{2^{p}}}\leqq x\leqq {\frac {1}{2^{p-1}}}$.

Il est clair que les fonctions ainsi construites sont continues et ont des dérivées qui se forment à partir de $\varphi '$ comme les $\mathrm {F}$ se forment à partir de $\varphi$. On voit de suite que la détermination de la fonction $\mathrm {F} _{\gamma }$, quel que soit son indice $\gamma$, à partir de sa dérivée, exige les opérations $\mathrm {O} _{1}$, $\mathrm {O} _{2}$, …, jusqu’à $\mathrm {O} _{\gamma }$ et cela qu’il s’agisse