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LA TOTALISATION.

Si $\alpha$ est fini, ou transfini de première espèce, l’opération $\mathrm {O} _{\alpha -1}$ aura fait connaître $\Phi$ dans tout intervalle ne contenant pas à son intérieur de points d’un ensemble fermé ${\mathcal {E}}_{\alpha -1}$. L’opération $\mathrm {O} _{\alpha }$ sera celle dans laquelle ${\mathcal {E}}_{\alpha -1}$ jouera le rôle de ${\mathcal {E}}$, elle conduira comme ensemble ${\mathcal {H}}$ à un ensemble ${\mathcal {E}}_{\alpha }$ et fera connaître ${\Phi (x)}$ dans tout intervalle ne contenant, à son intérieur, aucun point de ${\mathcal {E}}_{\alpha }$.

Si $\alpha$ est de deuxième espèce, les points communs à tous les ${\mathcal {E}}_{\beta }$, pour ${\beta <\alpha }$, forment un ensemble ${\mathcal {E}}_{\alpha }$ ; les opérations $\mathrm {O} _{\beta }$ ont formé ${\Phi (x)}$ dans tout intervalle ne contenant aucun point de ${\mathcal {E}}_{\alpha }$ ni à son intérieur, ni comme origine ou extrémité.

L’opération $\mathrm {O} _{\alpha }$ fera connaître ${\Phi (x)}$ dans tout intervalle ne contenant pas de point de ${\mathcal {E}}_{\alpha }$ à son intérieur.

La fonction ${\Phi (x)}$ sera fournie dans tout ${(a,b)}$ par cette récurrence transfinie ; pour que cette fonction qui, dans ce qui précède, dépend de choix laissés arbitraires, soit déterminée, il suffirait de fixer ces choix par des lois. Cela serait facile, mais il est tout à fait inutile d’y insister.

${\Phi (x)}$ étant alors définie pour chaque nombre $\eta$, en faisant tendre $\eta$ vers zéro, on aurait ${\mathrm {F} (x)}$ comme limite de ${\Phi (x)}$.

Nous avons donc deux procédés transfinis, légèrement différents, qui nous permettent tous deux d’obtenir la fonction primitive ${\mathrm {F} (x)}$ d’une dérivée $f(x)$ donnée ; montrons par des exemples que toutes les étapes prévues de ces procédés transfinis sont nécessaires^[1].

Désignons par ${\varphi (x)}$ une fonction définie dans (0, 1), qui y est continue et dérivable, telle que l’on ait

$|\varphi (x)|\leqq x^{2}$,$|\varphi (x)|\leqq (1-x)^{2}$,

qui est à variation bornée dans ${(h,1-h)}$ et à variation non bornée dans ${(0,h)}$, ${(1-h,1)}$, si petit que soit $h$ positif, et dont la dérivée est continue sauf pour ${x=0}$ et ${x=1}$.

1. Une opération nouvelle $\mathrm {O} _{\alpha }$ peut être nécessitée par le fait que l’une ou l’autre des diverses conditions figurant dans nos énoncés n’est pas remplie dans tout ${(a,b)}$ ; on peut se proposer de montrer par des exemples que chacune de ces conditions nécessite, à elle seule, toutes les étapes du transfini. C’est ce qu’a fait M. Denjoy. Le lecteur se reportera à ses travaux. Ici, on montrera seulement que l’ensemble des conditions de nos énoncés nécessite l’emploi du transfini dans toute sa généralité.