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LA TOTALISATION.
donc, dans l’oscillation de est au plus l’oscillation de augmentée de . L’oscillation de dans tend donc vers zéro avec la longueur de .
Il résulte de là en particulier que, lorsqu’on sait déterminer une fonction pour tout intervalle entièrement intérieur à un intervalle ,
,
on sait en déterminer une pour .
Notons enfin que, si l’on connaît une fonction pour tout intervalle contigu à un ensemble fermé ,
si la série correspondante est absolument convergente,
si la fonction est constante à moins de près sur ,
on obtient en tout point de une fonction à l’aide de l’expression
;
est l’une des valeurs prises par sur ; les indices et indiquent qu’on ne s’occupe que des parties de et des intervalles contigus à situés dans .
Il nous suffira de démontrer cette proposition pour . Pour le faire, couvrons à partir de d’une chaîne d’intervalles dont les uns seront des intervalles contigus à et les autres des intervalles de longueur au plus, ayant pour origine et extrémité des points , de et tels que l’on ait
,
et étant deux nombres distants de au plus et comprenant entre eux toutes les valeurs prises par sur . Nous allons évaluer à l’aide de cette chaîne ; mais auparavant il nous faut remarquer que la série , étendue aux intervalles contigus à , est absolument convergente, parce que diffère de de au plus.
Ceci étant, les intervalles de la chaîne nous donnent comme contribution dans :
d’une part, une partie de la somme conte-