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CHAPITRE X.

$\mathrm {M}$ étant un nombre fini. Il en résulte

$|\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )|<\mathrm {M} (\beta -\alpha )$

pour tous les intervalles contigus compris dans $i$. Il est donc bien clair que, pour la partie de $\mathrm {E}$ située dans $i$, la série ${\textstyle \sum [\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )]}$ est absolument convergente. Mais, d’autre part, $f(x)$, étant constante à $2\varepsilon$ près sur $\mathrm {E}$, est bornée, donc sommable, et toutes les conditions requises pour l’application de notre théorème sont remplies dans $i$.

Dès lors, dans tout intervalle contenant des points de $\mathrm {E}$, on en peut trouver un autre, contenant des points de $\mathrm {E}$, et dans lequel nous savons déterminer la fonction primitive de $f(x)$. Les points de $\mathrm {E}$ qui ne sont pas intérieurs à de tels intervalles forment donc un ensemble, évidemment fermé, partout non dense sur $\mathrm {E}$. Soit $\mathrm {H}$ cet ensemble ; si ${(l,m)}$ est un intervalle contigu à $\mathrm {H}$ et si nous prenons ${(\lambda ,\mu )}$ tel que

$l<\lambda <\mu <m$,

nous savons calculer la fonction primitive de $f(x)$ dans ${(\lambda ,\mu )}$, donc un passage à la limite nous donne cette fonction dans ${(l,m)}$.

Ainsi : si l’on sait déterminer, à une constante additive près, la fonction primitive d’une fonction dérivée $f(x)$ dans tout intervalle contigu à un ensemble fermé $\mathrm {E}$, on sait par cela même la déterminer dans tout intervalle contigu à un ensemble fermé $\mathrm {H}$, formé de points de $\mathrm {E}$ et partout non dense sur $\mathrm {E}$.

Cette proposition va nous permettre d’opérer par récurrence transfinie. Prenons tout d’abord pour $\mathrm {E}$ l’intervalle ${(a,b)}$ lui-même ; l’ensemble $\mathrm {H}$ est alors l’ensemble $\mathrm {E} _{1}$ des points de non-sommabilité de $f(x)$ et nous appellerons $\mathrm {O} _{1}$ l’opération qui fait connaître ${\mathrm {F} (x)}$ dans les intervalles contigus à $\mathrm {E} _{1}$. Prenons ensuite $\mathrm {E} _{1}$ pour ensemble $\mathrm {E}$, nous désignerons par $\mathrm {E} _{2}$ l’ensemble $\mathrm {H}$ fourni par $\mathrm {E} _{1}$, et $\mathrm {O} _{2}$ désignera l’opération qui fournit ${\mathrm {F} (x)}$ dans les intervalles contigus à $\mathrm {E} _{2}$. Et ainsi de suite. Si l’on épuise tous les indices finis sans arriver à trouver ${\mathrm {F} (x)}$ dans tout ${(a,b)}$, c’est que tous les ensembles $\mathrm {E} _{1}$, $\mathrm {E} _{2}$, … existent. Comme ils sont fermés et que chacun d’eux contient tous les suivants, il y a alors des points communs à tous ces ensembles ; ces points forment un ensemble fermé $\mathrm {E} _{\omega }$ contenu dans les $\mathrm {E} _{n}$ et non dense sur chacun d’eux. L’opération $\mathrm {O} _{\omega }$ consistera à déduire ${\mathrm {F} (x)}$ dans les inter-