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CHAPITRE X.
Nous connaissons déjà , à une constante additive près, dans tout intervalle contigu à , il suffirait, pour achever de déterminer , de savoir construire la fonction continue, égale à aux points de , en et en , et linéaire dans les intervalles où est déjà connue[1].
Or, nous connaissons en tout point les dérivées à droite et à gauche de ; et ont, en effet, la même dérivée aux points de qui ne sont ni origines, ni extrémités d’intervalles contigus à ; si est un intervalle contigu à , la dérivée de en tout point intérieur à est la quantité connue ; cette quantité est aussi la dérivée à droite de en et la dérivée à gauche en ; en la dérivée à gauche de est sauf si est point isolé de auquel cas est aussi extrémité d’un intervalle contigu à et l’on connaît la dérivée à gauche de en ; on connaît de même la dérivée à droite de en . Si donc est à variation bornée, c’est-à-dire si sa dérivée à droite, par exemple, est sommable, nous saurons calculer . Or la dérivée à droite de n’est sommable que si elle est sommable d’une part sur , c’est-à-dire si est sommable sur , et d’autre part dans l’ensemble des intervalles contigus à , c’est-à-dire si la série étendue aux intervalles contigus à est absolument convergente ; donc, lorsque les conditions précédentes sont remplies, nous avons
.
Pour donner à ce résultat toute sa portée, remarquons que nous nous sommes servis uniquement du fait que est fermé, donc :
- ↑ Nous introduisons ici les extrémités et de l’intervalle considéré, parce que nous sommes convenus de considérer et comme deux intervalles contigus à , et étant respectivement les points de plus petite et de plus grande abscisse de .