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CHAPITRE X.

Nous connaissons déjà ${\mathrm {F} (x)}$, à une constante additive près, dans tout intervalle contigu à $\mathrm {E}$, il suffirait, pour achever de déterminer ${\mathrm {F} (x)}$, de savoir construire la fonction ${\mathrm {F} _{1}(x)}$ continue, égale à ${\mathrm {F} (x)}$ aux points de $\mathrm {E}$, en $a$ et en $b$, et linéaire dans les intervalles où ${\mathrm {F} (x)}$ est déjà connue^[1].

Or, nous connaissons en tout point les dérivées à droite et à gauche de ${\mathrm {F} _{1}(x)}$ ; ${\mathrm {F} _{1}(x)}$ et ${\mathrm {F} (x)}$ ont, en effet, la même dérivée $f(x)$ aux points de $\mathrm {E}$ qui ne sont ni origines, ni extrémités d’intervalles contigus à $\mathrm {E}$ ; si ${(\alpha ,\beta )}$ est un intervalle contigu à $\mathrm {E}$, la dérivée de ${\mathrm {F} _{1}(x)}$ en tout point intérieur à ${(\alpha ,\beta )}$ est la quantité connue ${r[\mathrm {F} (x),\alpha ,\beta ]}$ ; cette quantité est aussi la dérivée à droite de ${\mathrm {F} _{1}(x)}$ en $\alpha$ et la dérivée à gauche en $\beta$ ; en $\alpha$ la dérivée à gauche de ${\mathrm {F} _{1}(x)}$ est $f(\alpha )$ sauf si $\alpha$ est point isolé de $\mathrm {E}$ auquel cas $\alpha$ est aussi extrémité d’un intervalle contigu à $\mathrm {E}$ et l’on connaît la dérivée à gauche de ${\mathrm {F} _{1}(x)}$ en $\alpha$ ; on connaît de même la dérivée à droite de ${\mathrm {F} _{1}(x)}$ en $\beta$. Si donc ${\mathrm {F} _{1}(x)}$ est à variation bornée, c’est-à-dire si sa dérivée à droite, par exemple, est sommable, nous saurons calculer ${\mathrm {F} _{1}(x)}$. Or la dérivée à droite de ${\mathrm {F} _{1}(x)}$ n’est sommable que si elle est sommable d’une part sur $\mathrm {E}$, c’est-à-dire si $f(x)$ est sommable sur $\mathrm {E}$, et d’autre part dans l’ensemble des intervalles contigus à $\mathrm {E}$, c’est-à-dire si la série ${\textstyle \sum [\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )]}$ étendue aux intervalles contigus à $\mathrm {E}$ est absolument convergente ; donc, lorsque les conditions précédentes sont remplies, nous avons

$\mathrm {F} (b)-\mathrm {F} (a)=\int _{\mathrm {E} }f(x)\,\mathrm {d} x+\textstyle \sum [\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )]$.

Pour donner à ce résultat toute sa portée, remarquons que nous nous sommes servis uniquement du fait que $\mathrm {E}$ est fermé, donc :

Si l’on connaît la fonction primitive ${\mathrm {F} (x)}$ d’une fonction $f(x)$, donnée dans un intervalle ${(a,b)}$, dans tout intervalle ${(\alpha ,\beta )}$ contigu à un ensemble fermé $\mathrm {E}$ ;

si la série ${\textstyle \sum [\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )]}$ est absolument convergente ;

1. Nous introduisons ici les extrémités $a$ et $b$ de l’intervalle considéré, parce que nous sommes convenus de considérer ${(a,x_{1})}$ et ${(x_{\omega },b)}$ comme deux intervalles contigus à $\mathrm {E} _{1}$, $x_{1}$ et $x_{\omega }$ étant respectivement les points de plus petite et de plus grande abscisse de $\mathrm {E} _{1}$.